1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, việc giải các hệ bất phương trình hoặc hệ phương trình là một nội dung trọng tâm và nền tảng quan trọng để phát triển tư duy logic, khả năng phân tích vấn đề cũng như chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao hơn ở các lớp trên. Một kỹ năng không thể thiếu khi giải hệ là xác định miền nghiệm chung của hệ – đây là bước then chốt giúp chúng ta tìm ra nghiệm chung thỏa mãn tất cả các điều kiện trong hệ. Việc hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp học sinh giải toán chính xác, nhanh chóng và tránh được những sai sót đáng tiếc.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Miền nghiệm chung của hệ (thường là hệ bất phương trình) là tập hợp tất cả các giá trị của ẩn thỏa mãn đồng thời tất cả các điều kiện (bất phương trình) trong hệ. Nói cách khác, miền nghiệm chung thể hiện phần giao nhau của các miền nghiệm của từng bất phương trình riêng lẻ trong hệ.

Ký hiệu: Nếu hệ gồm hai bất phương trình$B_1$và $B_2$, miền nghiệm chung là:

$S = S_1 \cap S_2$

Trong đó $S_1$và $S_2$lần lượt là tập nghiệm của$B_1$và $B_2$, ký hiệu " \cap " chỉ phép giao hai tập hợp.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để xác định miền nghiệm chung của một hệ, bạn làm theo 3 bước cơ bản sau:

Bước 1: Giải từng bất phương trình trong hệ riêng lẻ và tìm tập nghiệm của từng bất phương trình.

Bước 2: Biểu diễn tập nghiệm đó trên trục số (nếu có thể) để dễ dàng quan sát.

Bước 3: Xác định miền nghiệm chung bằng cách lấy phần giao của tất cả các tập nghiệm vừa tìm được.

Ví dụ minh họa:

Xét hệ bất phương trình sau:

Giải từng bất phương trình:

+$2x - 3 > 1 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow x > 2$

+$x + 1 \leq 4 \Leftrightarrow x \leq 3$

Miền nghiệm của từng bất phương trình:

$S_1 = (2; +\infty)$,$S_2 = (-\infty; 3]$

Miền nghiệm chung là:

$S = S_1 \cap S_2 = (2; 3]$

Tức là $x \in (2;3]$là những giá trị thỏa mãn cả hai bất phương trình.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu các tập nghiệm không có phần giao (tức là miền nghiệm chung rỗng), hệ sẽ vô nghiệm.
- Nếu miền nghiệm chung là một đoạn, nửa khoảng hoặc một điểm duy nhất, hãy chú ý tới ranh giới (lấy dấu bằng hay không lấy).
- Khi bất phương trình chứa ẩn ở mẫu hoặc xuất hiện căn thức, cần xác định điều kiện xác định trước khi giải. Nếu quên bước này dễ dẫn tới sai đáp số.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm xác định miền nghiệm chung của hệ còn liên hệ mật thiết với:
+ "Tập hợp": miền nghiệm chung chính là phép giao các tập hợp nghiệm.
+ "Tập xác định": khi giải bất phương trình chứa căn hoặc mẫu, miền nghiệm còn phải là con của tập xác định.
+ "Biểu diễn trên trục số": việc minh họa các tập nghiệm giúp quá trình tìm giao các tập nghiệm trở nên thuận tiện trực quan.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Giải hệ bất phương trình sau và xác định miền nghiệm chung:

Giải:

BPT 1:$3x - 5 \leq 1 \Leftrightarrow 3x \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 2$

BPT 2:$2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2$

Miền nghiệm của từng BPT:$S_1 = (-\infty;2]$,$S_2 = (-\infty;2)$

Miền nghiệm chung:$S = S_1 \cap S_2 = (-\infty;2)$

Bài tập 2:

Giải hệ bất phương trình chứa căn:

Giải:

Đầu tiên phải xác định điều kiện xác định: $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
Giải bất phương trình chính:
$\sqrt{x-1} \leq 2 \Leftrightarrow x-1 \leq 4 \Leftrightarrow x \leq 5$

=> Tập nghiệm$S_1 = [1,5]$,$S_2 = (0,+\infty)$
Miền nghiệm chung:$S = S_1 \cap S_2 = [1,5]$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không xác định điều kiện xác định (đặc biệt với căn và mẫu).
- Nhầm lẫn dấu bất phương trình (>, <, ≥, ≤).
- Không lấy phần giao mà lại hợp hoặc quên xét hết các bất phương trình.
- Biểu diễn trục số sai hoặc không chính xác ranh giới (lấy bằng hoặc không lấy bằng).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Miền nghiệm chung của hệ là phần giao các miền nghiệm của từng bất phương trình.
• Luôn xác định điều kiện xác định trước khi giải hệ có căn hoặc mẫu.
• Biểu diễn từng tập nghiệm trên trục số để tìm phần giao dễ dàng.
• Kiểm tra chắc chắn các ranh giới: lấy dấu bằng hay không.
• Luôn lấy phần giao, không phải hợp các tập nghiệm.