Bài 14: Phép chiếu song song – Khái niệm, tính chất & bài tập ứng dụng

1. Giới thiệu về phép chiếu song song và vai trò trong Toán học lớp 11

Trong chương trình Hình học lớp 11, "phép chiếu song song" là một khái niệm quan trọng thuộc chương Quan hệ song song trong không gian. Đây là nền tảng giúp học sinh hiểu sâu hơn về hình học không gian, vẽ hình, giải quyết các bài toán liên quan đến hình chiếu, dựng hình, và ứng dụng thực tế (người ta dùng phép chiếu để vẽ bản vẽ kỹ thuật, thiết kế trong xây dựng, cơ khí...). Do đó, thành thạo phép chiếu song song không chỉ phục vụ bài thi mà còn giúp bạn phát triển tư duy hình học và kỹ năng giải quyết vấn đề.

2. Định nghĩa chính xác phép chiếu song song

Giả sử cho một mặt phẳng$(\beta)$và một đường thẳng$d$không nằm trong$(\beta)$. Phép chiếu song song lên mặt phẳng$(\beta)$theo phương$d$là phép biến mỗi điểm$M$trong không gian thành điểm$M'$là giao điểm của$(\beta)$và đường thẳng đi qua$M$song song với$d$.

Nói cách khác: Phép chiếu song song một điểm$M$lên mặt phẳng$(\beta)$theo phương$d$là phép biến$M$thành$M'$, với$M'$là giao điểm của$(\beta)$và đường thẳng đi qua$M$song song với$d$.

3. Giải thích các bước thực hiện phép chiếu song song – Ví dụ minh họa

Giả sử bạn cần chiếu điểm$A$lên mặt phẳng$(P)$theo phương$d$:

Kết quả:$A'$là ảnh của$A$qua phép chiếu song song lên mặt phẳng$(P)$theo phương$d$.

Ví dụ cụ thể:

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$có đáy$ABCD$nằm trên mặt phẳng$(P)$và $A'$ ở ngoài mặt phẳng này. Hãy tìm ảnh của$A'$qua phép chiếu song song lên$(P)$theo phương song song với$AA'$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép chiếu song song có quan hệ chặt chẽ với các khái niệm:

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình hộp$ABCD.A'B'C'D'$, mặt phẳng$(ABCD)$, điểm$M$là trung điểm$A'D'$. Tìm ảnh$M'$của$M$qua phép chiếu song song lên$(ABCD)$theo phương$AA'$.

• Giải: Đường thẳng qua$M$song song với$AA'$cắt$(ABCD)$tại$M'$. Vì $AA'$song song với$A'D'$, trung điểm$M$nằm thẳng hàng với$A'$và $D'$, chiếu về phía$A$và $D$. Kết quả $M'$chính là trung điểm$AD$.

Bài tập 2: Cho chóp$S.ABCD$có đáy$ABCD$là hình vuông. Tìm ảnh của$S$trên mặt phẳng$(ABCD)$theo phép chiếu song song theo phương vuông góc với$(ABCD)$.

• Giải: Ảnh của$S$chính là giao điểm$O$của đường thẳng$SO$(vuông góc) với mặt phẳng$(ABCD)$. Nếu$SO$vuông góc với$(ABCD)$tại$O$thì $O$là ảnh chiếu vuông góc của$S$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tổng kết: Các điểm cần nhớ về phép chiếu song song