Blog

Lớp 11

Bài 17: Hàm số liên tục – Kiến thức cơ bản và ứng dụng cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
Tùy chỉnh đọc
100%
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 17: Hàm số liên tục là một trong những bài học nền tảng thuộc chương trình Toán 11, nằm trong chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục là khái niệm được áp dụng không chỉ ở bậc THPT mà còn rất quan trọng trong chương trình đại học và thực tiễn. Hiểu rõ khái niệm hàm số liên tục giúp bạn giải quyết tốt các dạng bài về giới hạn, đạo hàm, tích phân và nhiều ứng dụng trong thực tế như: dự đoán biến động giá cả, phân tích tín hiệu, mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên... Ngoài ra, bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với 37.799+ bài tập, giúp củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa cơ bản: Hàm số f(x)f(x) được gọi là liên tục tại điểmx0x_0nếu thỏa mãn ba điều kiện:

  • -f(x0)f(x_0)xác định.
  • - Giới hạn củaf(x)f(x)khixxtiến tớix0x_0tồn tại:lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)tồn tại.
  • -lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

    • • Tính chất cơ bản của hàm liên tục:

  • - Tổng, hiệu, tích và thương (nếu mẫu khác 0) của hai hàm liên tục cũng là hàm liên tục.
  • - Các hàm số sơ cấp như: đa thức, hàm phân thức hữu tỉ trên từng đoạn xác định, hàm lượng giác... đều liên tục trên miền xác định của chúng.

    • - Định lý giá trị trung gian: Nếuf(x)f(x)liên tục trên[a;b][a;b],f(a)<br>≠f(b)f(a) <br> \neq f(b), thì với mọikknằm giữaf(a)f(a)và f(b)f(b)luôn tồn tạic∈(a;b)c \in (a;b)sao chof(c)=kf(c)=k.

    2.2 Công thức và quy tắc

  • - Công thức kiểm tra liên tục tại điểm:lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
  • - Để dễ nhớ: Hãy liên hệ "liên tục" với hình ảnh đường đồ thị không bị "đứt đoạn" tạix0x_0.
  • - Nếu dùng các biến thể như kiểm tra liên tục bên trái, bên phải:lim⁡x→x0−f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x),lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^+} f(x)
  • - Lưu ý giới hạn phải tồn tại (bên trái và phải đồng thời và bằng nhau).

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Ví dụ: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1tạix0=1x_0 = 1.

  • - Ta có f(1)=2⋅1+1=3f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3.
  • - Tính giới hạn:lim⁡x→1(2x+1)=2⋅1+1=3\lim_{x \to 1} (2x+1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3.
  • - So sánh:lim⁡x→1f(x)=f(1)=3\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3, nên hàm số liên tục tạix0=1x_0 = 1.

    • Lưu ý: Với các hàm đa thức, kiểm tra liên tục rất dễ dàng do tính chất liên tục trên toàn trục số.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất từng phần:

    f(x)={x2,x<24,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 2 \\ 4, & x \ge 2 \\\end{cases}
    . Hỏif(x)f(x)có liên tục tạix0=2x_0 = 2không?

  • -f(2)=4f(2) = 4
  • - Tínhlim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−x2=4\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} x^2 = 4.
  • - Tínhlim⁡x→2+f(x)=4\lim_{x\to2^+} f(x) = 4.
  • - Vì lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)=4\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^+} f(x) = f(2) = 4, nên hàm số liên tục tạix0=2x_0 = 2.

    • Kỹ thuật giải nhanh:
    - Xét liên tục với các hàm từng đoạn cần kiểm tra cả hai phía trái và phải.
    - So sánh giới hạn hai phía với giá trị hàm tại điểm.

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Những điểm cần chú ý gồm: điểm gián đoạn (hàm không xác định), điểm mà giới hạn hai phía không tồn tại hoặc không trùng khớp, trường hợp hàm phân thức có mẫu bằng 0...

    - Mối liên hệ: Khái niệm gián đoạn có liên quan đến đạo hàm (điểm không liên tục thì không có đạo hàm).

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫn giữa liên tục và xác định: Một hàm xác định tạix0x_0chưa chắc liên tục tại đó.
  • - Nhầm với tính đồng biến, nghịch biến: Liên tục chỉ nói về "không đứt đoạn" trên đồ thị chứ không nói về chiều tăng/giảm.

    • Cách phân biệt: Luôn nhớ kiểm tra cả ba điều kiện định nghĩa liên tục.

    5.2 Lỗi về tính toán

  • - Quên tính giới hạn cả hai phía với hàm từng đoạn.
  • - Nhầm công thức hoặc thao tác sai khi tính giới hạn.

    • Cách kiểm tra: Sau khi giải, thế lại giá trị vào công thức để xác định kết quả hợp lý.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay 37.799+ bài tập Bài 17: Hàm số liên tục miễn phí. Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập cũng như cải thiện kỹ năng mỗi ngày!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Nhớ định nghĩa liên tục và điều kiện áp dụng.
  • - Hàm số đa thức, phân thức xác định đều liên tục trên miền xác định.
  • - Với hàm từng đoạn, luôn kiểm tra giới hạn hai phía và giá trị hàm tại điểm.
  • - Checklist: Nhớ ba điều kiện liên tục, ghi nhớ công thức và luyện nhiều bài tập để thành thạo.

    • Chúc bạn học tốt Bài 17: Hàm số liên tục. Đừng quên truy cập học và luyện tập Bài 17: Hàm số liên tục miễn phí để làm chủ kiến thức này!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Ứng dụng thực tế của Tính toán và biến đổi biểu thức chứa lũy thừa trong cuộc sống và các ngành nghề

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".