Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực – Giải thích chi tiết

1. Giới thiệu về Luỹ thừa với số mũ thực và tầm quan trọng

Trong Toán học, khái niệm luỹ thừa không chỉ dừng lại ở số mũ tự nhiên hoặc số nguyên, mà còn được mở rộng sang các số mũ thực (bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ). Điều này cực kỳ quan trọng cho việc hiểu sâu về hàm số mũ, hàm số lôgarit cũng như các ứng dụng thực tế trong đời sống và các môn học khác. Ở chương trình Toán 11, "Luỹ thừa với số mũ thực" là nền tảng quan trọng giúp học sinh tiếp cận các chủ đề phức tạp hơn, đồng thời phát triển tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập nâng cao.

2. Định nghĩa chính xác về Luỹ thừa với số mũ thực

Cho số thực dương$a > 0$và số thực$x$. Luỹ thừa với số mũ thực$a^x$ được định nghĩa dựa trên các mở rộng tuần tự:

• Với $x = n$ là số nguyên dương, $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{lần}}$ .

• Với$x = 0$, quy ước$a^0 = 1$với$a \neq 0$.

• Với$x = -n$là số nguyên âm,$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

• Với $x = \frac{m}{n}$ ($m, n$là số nguyên,$n > 0$): $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

• Với$x$là số thực bất kỳ,$a^x$ được định nghĩa thông qua lôgarit:$a^x = e^{x \cdot \ln a}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Luỹ thừa với số mũ nguyên:

Ví dụ:$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$;$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

b) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

Ví dụ: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$; $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$; $16^{\frac{3}{4}} = (16^3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{4096} = 8$.

c) Luỹ thừa với số mũ thực (bất kỳ):

Ví dụ: $2^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2} \cdot \ln 2} \approx 2.665$; $4^{\pi} = e^{\pi \cdot \ln 4} \approx 72.97$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Luỹ thừa chỉ xác định với cơ số dương$a > 0$khi mũ là số thực không nguyên.

- Không xác định$0^0$,$0^x$với$x < 0$, và $a^x$với$a < 0$khi$x$là số thực không nguyên chẵn.

- Khi mũ là số vô tỉ, phải sử dụng cách định nghĩa thông qua lôgarit.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Luỹ thừa với số mũ thực có mối quan hệ chặt chẽ với hàm số mũ ($y = a^x$), hàm số lôgarit ($y = \log_a x$), đạo hàm, tích phân…

- Vận dụng các tính chất luỹ thừa để rút gọn biểu thức, giải phương trình mũ, bất phương trình mũ…

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài 1. Tính các giá trị sau:

(a)$27^{\frac{2}{3}}$

Giải:$27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = (3)^2 = 9$.

(b)$16^{-1.5}$

Giải:$16^{-1.5} = 16^{-\frac{3}{2}} = (16^{\frac{1}{2}})^{-3} = (4)^{-3} = \frac{1}{64}$.

- Bài 2. Giải phương trình:$2^x = 5$

Giải: Lấy lôgarit hai vế:

$x \ln 2 = \ln 5 \Rightarrow x = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2.322$

- Bài 3. So sánh$5^{0.3}$và $3^{0.5}$.

Giải: $5^{0.3} = e^{0.3 \ln 5} \approx e^{0.48282} \approx 1.621$. $3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.732$. Vậy $3^{0.5} > 5^{0.3}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Áp dụng luỹ thừa với cơ số âm cho số mũ thực không nguyên: Ví dụ,$(-2)^{1/2}$không xác định trong tập số thực.

- Nhầm lẫn giữa các quy ước về $0^0$,$a^0$,$0^x$với$x < 0$.

- Lỗi về làm tròn số khi sử dụng máy tính, nên ghi chú số chữ số thập phân hợp lý.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Luỹ thừa với số mũ thực được định nghĩa trên cơ số dương và có thể tính qua lôgarit.

- Khi giải bài tập luỹ thừa với số mũ thực, cần chú ý tính chất và phạm vi xác định.

- Nắm vững quy tắc và các tính chất để vận dụng giải phương trình, bất phương trình và rút gọn biểu thức.

- Luỹ thừa với số mũ thực là nền tảng để học các phần tiếp theo về hàm số mũ, hàm số lôgarit, đạo hàm, tích phân,…