1. Giới thiệu chung về Hàm số mũ và Hàm số lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai loại hàm số quan trọng bậc nhất trong toán học trung học phổ thông. Không chỉ xuất hiện nhiều trong các bài tập đại số, các hàm này còn có vai trò to lớn trong các ứng dụng thực tiễn như xác suất - thống kê, tăng trưởng dân số, vật lý, sinh học, kinh tế học... Bộ đôi hàm số này giúp mô tả các quá trình tăng trưởng hoặc suy giảm mạnh, cũng như giải quyết các bài toán liên quan đến phép nhân, phép chia lặp đi lặp lại.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

a. Hàm số mũ

Hàm số mũ là hàm số có dạng:
$y = a^x$
Trong đó,$a > 0$,$a \neq 1$,$x \in \mathbb{R}$.

b. Hàm số lôgarit

Hàm số lôgarit là hàm số có dạng:
$y = \log_a{x}$
Trong đó,$a > 0$,$a \neq 1$,$x > 0$.

Ở đây,$a$gọi là cơ số của hàm số mũ (hoặc hàm số lôgarit).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a. Hàm số mũ

- Hàm số $y = 2^x$: ở đây$a = 2$. Khi$x$tăng 1 đơn vị,$y$sẽ gấp đôi. Ví dụ:$x = 3$,$y = 2^3 = 8$.
- Với$x = -2$,$y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
- Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua điểm$(0;1)$vì $a^0 = 1$.

Tính chất:
- Hàm số luôn dương ($a^x > 0, \forall x \in \mathbb{R}$)
- Nếu$a > 1$, hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}$
- Nếu$0 < a < 1$, hàm số nghịch biến trên$\mathbb{R}$

Đồ thị minh họa: Đồ thị của$y = 2^x$ đi lên rất nhanh về bên phải trục$Oy$và tiến sát trục hoành về bên trái.

b. Hàm số lôgarit

- Hàm số $y = \log_2{x}$: để tìm$y$, ta cần tìm số mũ $y$sao cho$2^y = x$. Ví dụ:$x = 8$,$y = \log_2{8} = 3$, vì $2^3 = 8$.
- Với$x = \frac{1}{4}$,$y = \log_2{\frac{1}{4}} = -2$vì $2^{-2} = \frac{1}{4}$.
- Hàm số xác định với$x > 0$. Đồ thị đi qua điểm$(1;0)$.

Tính chất:
- Nếu$a > 1$, hàm số $y = \log_a{x}$ đồng biến trên$(0; +\infty)$
- Nếu$0 < a < 1$, hàm số nghịch biến trên$(0; +\infty)$

Đồ thị minh họa: Đồ thị hàm số lôgarit “bẻ cong” về phía trục$Oy$, càng xa trục$Ox$, giá trị $y$tăng dần chậm lại.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Không lấy$a = 1$hoặc$a \leq 0$: Với$a = 1$thì $y = 1^x = 1$là một hàm hằng, không phải hàm mũ. Với$a \leq 0$, hàm số không xác định với mọi$x$thực.
- Đối với hàm lôgarit:$x$chỉ nhận giá trị dương ($x > 0$); cơ số $a > 0, a \neq 1$.

5. Mối liên hệ giữa hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hai hàm số này là nghịch đảo của nhau:

Nếu$y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a{y}$. Khi biết một trong hai giá trị, bạn hoàn toàn có thể tìm được giá trị còn lại.

Ví dụ: Nếu$x = 2$,$a = 3$, vậy$y = 3^2 = 9$, thì $\log_3{9} = 2$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho hàm số $y = 2^x$. Tính$y$khi$x = -1, 0, 1, 3$.

Lời giải:

-$x=-1$,$y=2^{-1} = \frac{1}{2}$
-$x=0$,$y=2^0 = 1$
-$x=1$,$y=2^1 = 2$
-$x=3$,$y=2^3 = 8$

Bài tập 2. Giải phương trình$3^x = 27$.

Lời giải:

Ta có $27 = 3^3$. Suy ra$3^x = 3^3 \Rightarrow x = 3$.

Bài tập 3. Tính$\log_5{25}$và $\log_2{\frac{1}{8}}$.

Lời giải:

-$\log_5{25} = 2$vì $5^2 = 25$
-$\log_2{\frac{1}{8}} = -3$vì $2^{-3} = \frac{1}{8}$

Bài tập 4. Giải phương trình$2^x = 10$.

Lời giải:

Lấy lôgarit hai vế:

$2^x = 10 \Rightarrow x = \log_2{10}$

Sử dụng công thức đổi cơ số:

$\log_2{10} = \frac{\log_{10}10}{\log_{10}2} = \frac{1}{0,3010} \approx 3,32$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Lấy$a=1$hoặc$a \leq 0$: không đúng vì cơ số phải dương và khác 1.

Với hàm lôgarit lấy$x \leq 0$: không được, vì lôgarit chỉ xác định với$x>0$.

Quên điều kiện xác định trong khi giải phương trình mũ-lôgarit.

Không sử dụng được công thức chuyển đổi lôgarit:$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm số mũ có dạng$y = a^x$với$a > 0, a \neq 1$.
- Hàm số lôgarit có dạng$y = \log_a{x}$với$x > 0$,$a > 0, a \neq 1$.
- Hai hàm này là nghịch đảo của nhau:$y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a{y}$.
- Hàm mũ đồng biến khi$a>1$, nghịch biến khi$0<a<1$(tương tự cho lôgarit).
- Luôn chú ý điều kiện xác định của hàm số và phương trình.

Áp dụng thành thạo các kiến thức lý thuyết và luyện tập giải bài tập sẽ giúp các em tự tin khi làm bài liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Hy vọng với bài viết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ kiến thức Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit, nắm vững và vận dụng thành thạo trong học tập toán lớp 11!

Từ khóa SEO: Hàm số mũ và hàm số Lôgarit, giải thích Bài 20 Hàm số mũ lớp 11, hướng dẫn học hàm số mũ lớp 11, toán lớp 11, kiến thức đại số 11.