I. Giới thiệu về hai đường thẳng vuông góc và tầm quan trọng trong Toán học

Hai đường thẳng vuông góc là một khái niệm cơ bản, quan trọng trong chương trình toán học lớp 11 và các lớp học cao hơn. Kiến thức này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài tập hình học phẳng, hình học không gian mà còn có ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật, kiến trúc,... Hiểu rõ về hai đường thẳng vuông góc giúp học sinh nắm chắc hơn các bài toán nhận biết, chứng minh, cũng như phát triển tư duy toán học logic về hình học.

II. Định nghĩa chính xác về hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc tạo bởi chúng là góc vuông (tức là $90^\circ$). Trong mặt phẳng, hai đường thẳng$d_1$và $d_2$ được gọi là vuông góc nếu chúng cắt nhau tại một điểm và góc giữa chúng bằng$90^\circ$.

Ký hiệu:$d_1 \perp d_2$($d_1$vuông góc$d_2$).

Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại điểm$O$và tạo với nhau một góc vuông, thì chúng vuông góc. Khi đó, mỗi đường thẳng gọi là pháp tuyến (hay còn gọi là đường vuông góc) của đường còn lại tại điểm$O$.

III. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

1. Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng với phương trình dạng tổng quát:

$d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$

2. Điều kiện vuông góc:
Hai đường thẳng$d_1$và $d_2$vuông góc khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng$-1$.

Hệ số góc của$d_1$là $k_1 = -\frac{a_1}{b_1}$(nếu$b_1 <br>e 0$)
Hệ số góc của$d_2$là $k_2 = -\frac{a_2}{b_2}$(nếu$b_2 <br>e 0$)

Khi đó:$k_1 \cdot k_2 = -1$
Hoặc$\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} = -1$

Trường hợp nếu$b_1 = 0$hoặc$b_2 = 0$, bạn cần xét riêng (đường thẳng song song trục hoành hoặc trục tung).

3. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng$d_1: 2x + y - 3 = 0$và $d_2: x - 2y + 5 = 0$. Hai đường này có vuông góc không?

Giải:
- Hệ số góc$d_1$:$k_1 = -\frac{2}{1} = -2$.
- Hệ số góc$d_2$:$k_2 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
- Tích:$k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$
⟹ Hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

Ví dụ 2:$d_3: y = 3x + 1$và $d_4: y = -\frac{1}{3}x + 2$.
Ta thấy tích hệ số góc$3 \times ( -\frac{1}{3} ) = -1$: hai đường thẳng này cũng vuông góc!

IV. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

1. Một đường thẳng song song trục hoành ($y = h$) và một đường thẳng song song trục tung ($x = k$) thì luôn vuông góc.
2. Hai đường thẳng cùng đi qua điểm gốc tọa độ $O(0;0)$: Có thể xét hệ số góc của hai đường như trên.
3. Nếu đề bài cho dạng tham số, cần đưa về dạng tổng quát hoặc xét vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến.

Lưu ý:
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song thì không bao giờ vuông góc.
- Đừng nhầm lẫn điều kiện song song (hai hệ số góc bằng nhau) với điều kiện vuông góc (tích hệ số góc bằng$-1$).

V. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hai đường thẳng vuông góc liên quan mật thiết tới các khái niệm: góc giữa hai vectơ, tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong, hệ tọa độ vuông góc,...

Nếu hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$tạo thành hai đường thẳng, thì điều kiện vuông góc là:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
(trong đó $\vec{a} \cdot \vec{b}$là tích vô hướng hai vectơ).

Với hai đường thẳng trong không gian (hình học không gian), hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi chúng cắt nhau và tạo một góc$90^\circ$. Nếu hai đường chéo nhau (không cắt nhau, không song song) thì không thể xét là vuông góc.

VI. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định giá trị của$m$ để hai đường thẳng$y = (m+1)x + 2$và $y = -2x + 5$vuông góc với nhau.

Lời giải:
Hệ số góc của đường thứ nhất:$k_1 = m+1$; đường thứ hai:$k_2 = -2$.
Để vuông góc:$k_1 \cdot k_2 = -1 \Leftrightarrow (m+1) \cdot (-2) = -1$
$\Rightarrow -2m -2 = -1 \Rightarrow -2m = 1 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$

Bài 2: Cho hai đường thẳng$d_1: x - 3y + 2 = 0$và $d_2: 3x + y - 4 = 0$. Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc.

Lời giải:
Hệ số góc$d_1$:$k_1 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$;$d_2$:$k_2 = -\frac{3}{1} = -3$.
$k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$nên hai đường thẳng này vuông góc.

VII. Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Không xác định đúng hệ số góc (điền nhầm dấu âm, mẫu số,...) khiến kết quả sai.
2. Nhầm điều kiện vuông góc với điều kiện song song (song song: hệ số góc bằng nhau, vuông góc: tích hệ số góc bằng$-1$).
3. Không chuyển đúng dạng phương trình (dạng tổng quát sang dạng$y = ax + b$) trước khi lấy hệ số góc.
4. Quên xét trường hợp đặc biệt: một trong hai đường song song trục tọa độ.

VIII. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi góc tạo bởi chúng là $90^\circ$.
• Điều kiện vuông góc trong mặt phẳng: tích hai hệ số góc bằng$-1$.
• Nếu một đường song song trục hoành còn đường kia song song trục tung, chắc chắn vuông góc.
• Chuyển phương trình về đúng dạng để tìm hệ số góc.
• Lực lượng kiểm tra lại các dấu, mẫu số và trường hợp đặc biệt khi làm bài.

Nắm vững kiến thức về hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp các em tự tin giải quyết nhiều dạng bài toán hình học phẳng, mở rộng đến hình học không gian và chuẩn bị tốt cho các cấp học cao hơn.