Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – Giải thích chi tiết cho lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 24 về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một phần thiết yếu trong chương VII – Quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa Toán 11. Khái niệm này giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối và mối liên hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

Việc nắm vững phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không chỉ cần thiết để học tốt phần hình học 11 mà còn là nền tảng cho các chương trình học cao hơn, cũng như ứng dụng rộng rãi trong thực tế: thiết kế kỹ thuật, kiến trúc, và giải quyết các bài toán đời sống. Hơn nữa, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập từ cơ bản đến nâng cao giúp củng cố kiến thức vững vàng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Phép chiếu vuông góc: Phép đưa một điểm, một đoạn, một đường thẳng xuống mặt phẳng theo phương vuông góc với mặt phẳng đó. Hình chiếu vuông góc của điểm$M$lên mặt phẳng$(P)$là điểm$H$sao cho$MH \perp (P)$tại$H$.

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Được định nghĩa là góc nhỏ nhất tạo bởi đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng. Kí hiệu: Góc giữa$d$và $(P)$là $\theta$với$0 \leq \theta \leq 90^\circ$.

• Định lý và tính chất: Sử dụng trực tiếp tính chất của tam giác vuông, định lý cosin, và các tính chất hình học không gian. Đặc biệt:

• Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng không song song với mặt phẳng luôn là một đường thẳng.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.

• Điều kiện áp dụng:Đường thẳng không vuông góc, không song song với mặt phẳng. Nếu vuông góc, góc là $90^\circ$; nếu song song, góc là $0^\circ$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính góc giữa đường thẳng$d$và mặt phẳng$(P)$:Nếu$d$có vectơ chỉ phương$\vec{a}$, mặt phẳng$(P)$có vectơ pháp tuyến$\vec{n}$thì:

• Cách ghi nhớ công thức:Đặt đường thẳng$d$và mặt phẳng$(P)$sao cho nhìn thấy rõ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Ghi nhớ: "sin của góc giữa$d$và $(P)$chính là tỉ số tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương và pháp tuyến, chia tích độ dài", luôn lấy giá trị tuyệt đối.

• Điều kiện sử dụng: áp dụng cho mọi trường hợp không song song (góc$0^\circ$) hoặc vuông góc (góc$90^\circ$), kiểm tra bằng cách so sánh hai vectơ \vec{a} và \vec{n}.

• Biến thể: Đôi khi cần tính cosin thay cho sin (tính góc giữa hai vectơ), nhưng với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng phải nhớ sử dụng sin.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho đường thẳng$d$có phương trình tham số:

Và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 4 = 0$. Hãy tính góc giữa$d$và $(P)$.

Giải:

• Vectơ chỉ phương của$d$: $\vec{a} = (2,1,−2)$
• Vectơ pháp tuyến của$(P)$: $\vec{n} = (2,−1,2)$
• Tính$\vec{a} \cdot \vec{n} = 2<em>2 + 1</em>(-1) + (−2)*2 = 4 − 1 − 4 = -1$
• $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (−2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$
• $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (−1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$
• $\sin \theta = \frac{|−1|}{3 \times 3} = \frac{1}{9}$

Vậy góc giữa đường thẳng$d$và mặt phẳng$(P)$là:

Lưu ý: Luôn lấy giá trị tuyệt đối trong tử số khi áp dụng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABC$(đáy là tam giác đều) với$SA \perp (ABC)$, $SA = a$, cạnh đáy $AB = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa $SB$và mặt phẳng$(SAC)$.

(Hướng dẫn: $<br />\quad$• Xác định chưa rõ vecto chỉ phương và pháp tuyến cần dựng hình và gán tọa độ phù hợp.
\quad• Áp dụng công thức cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
\quad• Luyện kỹ năng tính nhanh bằng vector.)

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc là $90^\circ$(sin bằng 1).
• Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng, góc là $0^\circ$(sin bằng 0).
• Nếu $\vec{a}$vuông góc$\vec{n}$thì $\sin \theta = 1$.

Mối liên hệ: Khái niệm này liên quan chặt chẽ với các bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng thông qua các phép chiếu và các tính chất vuông góc trong không gian.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa phép chiếu song song với phép chiếu vuông góc.
• Hiểu sai về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng là góc giữa chúng, thực ra là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc xuống mặt phẳng.

Cách phân biệt: Luôn vẽ hình phụ và xác định rõ vị trí phép chiếu vuông góc.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên lấy trị tuyệt đối khi tính tích vô hướng.
• Nhầm công thức cos và sin khi tính góc.
• Tính sai độ dài các vectơ.

Phương pháp kiểm tra: Soát lại từng bước, thử thay số đơn giản vào để đối chiếu, sử dụng máy tính nếu cần.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hơn 42.226+ bài tập Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ học tập ngay lập tức để cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm rõ định nghĩa về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
• Thuộc lòng công thức $\sin \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}$.
• Phân biệt đúng các trường hợp và kiểm tra kỹ kết quả.

Checklist ôn tập: Đọc lý thuyết, làm ví dụ mẫu, luyện tập thực chiến trên bộ bài tập. Đặt mục tiêu hoàn thành đủ dạng bài trong 42.226 bài tập để chuẩn bị tốt cho kiểm tra và thi học kỳ.