Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về phép chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt ở chủ đề hình học không gian, khái niệm phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một phần quan trọng, giúp học sinh rèn luyện tư duy không gian và giải quyết các bài toán thực tiễn. Việc hiểu rõ hai khái niệm này không chỉ giúp giải tốt các bài toán hình mà còn là nền tảng cho hình học không gian ở các lớp cao hơn và các kỳ thi lớn như thi vào 10, thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

- Phép chiếu vuông góc của 1 điểm hoặc 1 đoạn thẳng lên mặt phẳng: Cho mặt phẳng$(P)$và điểm$A$không thuộc$(P)$. Gọi$H$là hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$nếu đường thẳng$AH$vuông góc với$(P)$tại$H$.

- Phép chiếu vuông góc của đường thẳng$d$lên mặt phẳng$(P)$: Là hình của$d$thu được bằng cách lấy hình chiếu vuông góc của mọi điểm thuộc$d$lên$(P)$. Nếu$d$cắt$(P)$, giao điểm đó chính là giao điểm của$d$với$(P)$.

- Góc giữa đường thẳng$d$và mặt phẳng$(P)$: Là góc nhọn tạo bởi đường thẳng$d$và hình chiếu vuông góc$d'$của$d$lên$(P)$. Ký hiệu là $\theta$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xem xét ví dụ cơ bản: Cho hình chóp$S.ABC$với đáy là tam giác$ABC$nằm trên mặt phẳng$(ABC)$. Ta cần xác định phép chiếu vuông góc của đường thẳng$SA$lên mặt phẳng$(ABC)$và tính góc giữa$SA$với$(ABC)$.

Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc của$S$lên$(ABC)$: Gọi$H$là hình chiếu vuông góc của$S$lên$(ABC)$.

Bước 2: Tìm hình chiếu$A'$của điểm$A$(nằm trên mặt phẳng) lên$(ABC)$, do$A \in (ABC)$nên$A' = A$.

Bước 3: Nối$H$với$A$sẽ tạo thành hình chiếu vuông góc$SA'$của đường$SA$lên$(ABC)$.

Bước 4: Góc giữa$SA$và $(ABC)$là góc giữa$SA$và $HA$(ký hiệu$\widehat{SHA}$), đây là góc nhọn tại$A$.

Tổng quát: Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta luôn sử dụng chính hình chiếu vuông góc của đường thẳng đó lên mặt phẳng; góc cần tìm là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của nó.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu đường thẳng$d$song song với mặt phẳng$(P)$thì phép chiếu vuông góc của$d$lên$(P)$chính là bản thân$d$hoặc một đường thẳng song song với$d$nằm trên$(P)$. Lúc này, góc giữa$d$và $(P)$bằng$0^\circ$.

- Nếu$d$vuông góc với$(P)$thì góc giữa$d$và $(P)$là $90^\circ$, và phép chiếu vuông góc của$d$trên$(P)$chỉ là một điểm duy nhất, chính là chân của$d$trên$(P)$.

- Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng$d$không song song, không vuông góc với$(P)$, thì hình chiếu là một đường thẳng$d'$nằm trên$(P)$, góc giữa$d$và $d'$là góc giữa$d$và mặt phẳng$(P)$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hiểu được phép chiếu vuông góc giúp học sinh dễ dàng hình dung và tính toán các yếu tố như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, từ một điểm đến một đường thẳng, và việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng còn giúp xác định góc nghiêng của vật thể trong không gian, ứng dụng nhiều trong vật lý, kỹ thuật, kiến trúc.

- Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian, giữa hai mặt phẳng,... đều dựa trên cùng tư duy về góc và phép chiếu.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông cân tại$A$,$AB = AC = a$,$SA \perp (ABC)$,$SA = h$. Tính góc giữa$SB$và mặt phẳng$(ABC)$.

Giải: - Vì $SA \perp (ABC)$nên hình chiếu vuông góc của$SB$trên$(ABC)$là $AB$. Góc giữa$SB$và $(ABC)$là góc giữa$SB$và $AB$.

- Xét tam giác $SAB$vuông tại$A$, ta có $SA = h$, $AB = a$, $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Góc cần tìm là $\widehat{SBA}$, với

Bài tập 2: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$cạnh$a$. Tìm góc giữa cạnh$AA'$và mặt phẳng$(ABCD)$.

Giải: -$AA'$vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$nên góc giữa$AA'$và $(ABCD)$là $90^\circ$.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Hay xác định nhầm hình chiếu vuông góc của đường thẳng, đặc biệt khi đường thẳng không vuông góc cũng không song song với mặt phẳng.

- Xác định nhầm góc cần tính (lấy sai góc nhọn, hoặc lấy góc tù/hơi lớn hơn$90^\circ$). Hãy luôn nhớ, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn.

- Bỏ qua điều kiện vuông góc hoặc song song dẫn đến dựng sai hình chiếu hoặc sai góc.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phép chiếu vuông góc giúp xác định hình ảnh của điểm, đoạn, hay đường thẳng lên mặt phẳng một cách chính xác theo phương vuông góc.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng định nghĩa là góc nhọn giữa đường và hình chiếu vuông góc của nó.
• Phải vẽ đúng hình và rõ nét các yếu tố hình học để xác định chính xác phép chiếu và góc.
• Lưu ý đặc biệt các trường hợp đường thẳng vuông góc, song song với mặt phẳng.
• Phép chiếu vuông góc là kỹ năng nền tảng cho các bài toán hình học không gian khác.