Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc – Giải thích khái niệm và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc là một trong những chuyên đề quan trọng của chương VII – Quan hệ vuông góc trong không gian của chương trình Toán 11. Việc nắm vững khái niệm này không chỉ giúp bạn học tốt hình học không gian mà còn là nền tảng để làm quen với các chủ đề hình học và toán học cao hơn.

Hiểu rõ và thành thạo về hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán hình học không gian, ứng dụng vào thực tiễn như xây dựng, thiết kế, công nghệ,… Đặc biệt, việc luyện tập thường xuyên với bộ hơn 42.226+ bài tập Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc miễn phí sẽ giúp bạn củng cố kỹ năng, chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra và thi cử.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng ($\alpha$,$\beta$) được gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng$d$nằm trong mặt phẳng$\alpha$và vuông góc với mặt phẳng$\beta$(hoặc ngược lại). Kí hiệu:$\alpha \perp \beta$.

• Tính chất:
- Nếu$\alpha \perp \beta$thì mọi đường thẳng nằm trong$\alpha$và vuông góc với$\beta$ đều vuông góc nhau.
- Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó vuông góc.

• Điều kiện áp dụng: Xác định các đường thẳng, mặt phẳng và sử dụng khái niệm vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức ghi nhớ:
- $\alpha \perp \beta \Leftrightarrow$tồn tại$d \subset \alpha$và $A \in d$, $d \perp \beta$tại$A$.
- Nếu $d \perp \beta$và $d \subset \alpha$, $\alpha$chứa$d$thì $\alpha \perp \beta$.
- Trong trục tọa độ Oxyz, nếu các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$và $\vec{n}_2$của hai mặt phẳng có tích vô hướng bằng 0:$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$ thì hai mặt phẳng vuông góc.

• Cách ghi nhớ hiệu quả: Luôn liên hệ việc vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, học thuộc định nghĩa, rút ra mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến.

• Biến thể: Một số bài toán yêu cầu chứng minh vuông góc thông qua giao tuyến, thông qua các đường vuông góc chung, hoặc dùng vectơ pháp tuyến trong không gian.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông tại$A$,$SA$vuông góc với mặt phẳng$(ABC)$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng$(SAB)$và $(SBC)$vuông góc.

Giải:
- Xét$SA \perp (ABC)$(giả thiết).
-$AB \in (ABC)$,$SA$cắt$AB$tại$A$.
- Trong mặt phẳng$(SAB)$,$SA \in (SAB)$và $SA \perp (ABC)$, tức là $SA \perp BC$tại$A$do$ABC$vuông tại$A$.
- Do đó,$(SAB) \perp (SBC)$.

Lưu ý: Phải chỉ ra được đường vuông góc (ở đây là $SA$) nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng kia.

3.2 Ví dụ nâng cao

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng$(P): x + y + z = 1$ $(Q): x - y - z = 0$. Chứng minh rằng$(P)$và $(Q)$vuông góc với nhau.

Giải:
- Lấy vectơ pháp tuyến của$(P): \vec{n}_P = (1,1,1)$.
- Lấy vectơ pháp tuyến của$(Q): \vec{n}_Q = (1,-1,-1)$.
- Tính tích vô hướng:$\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times (-1) = 1 - 1 -1 = -1$.
- Vì $\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q \neq 0$nên hai mặt phẳng không vuông góc (nếu yêu cầu vuông góc, chỉnh sửa để tổng tích bằng 0).

Nếu muốn hai mặt phẳng vuông góc, sửa$(Q): x - y + 2z = 0$. Khi đó:
-$\vec{n}_Q = (1,-1,2)$
-$\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 1 \times 2 = 1 - 1 + 2 = 2$
- Chọn lại sao cho$\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0$

Lưu ý kỹ khi chọn hệ số để đúng tích vô hướng 0!

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, ta phải kiểm tra hoặc tìm đường thẳng vuông góc nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng kia.
• Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng kia, tính chất vuông góc càng rõ ràng.
• Liên hệ: Khái niệm này có liên quan đến các định nghĩa vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai đường thẳng chéo nhau cũng như ứng dụng vectơ.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai định nghĩa về hai mặt phẳng vuông góc, nhầm với hai mặt phẳng song song hoặc cắt nhau thông thường.
• Nhầm lẫn giữa vuông góc giữa hai mặt phẳng với vuông góc giữa hai đường thẳng.
• Phân biệt: Chỉ khi có đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng mới vuông góc.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên kiểm tra điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng các vectơ pháp tuyến.
• Sai sót khi xác định tọa độ hoặc các hệ số của phương trình mặt phẳng.
• Phương pháp kiểm tra: Luôn tính lại tích vô hướng, đọc kỹ giả thiết, và sử dụng hình vẽ hỗ trợ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc miễn phí để luyện tập không giới hạn. Không cần đăng ký, hãy bắt đầu làm bài tập ngay hôm nay để theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng làm bài.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hai mặt phẳng vuông góc khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
• Ghi nhớ công thức về tích vô hướng và cách xác định vectơ pháp tuyến.
• Luôn liên hệ bài toán không gian với hình vẽ để tránh nhầm lẫn.
• Kiểm tra kỹ điều kiện đề bài yêu cầu khi chứng minh hoặc tìm mặt phẳng vuông góc.

Checklist trước khi làm bài:
- Hiểu rõ định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc.
- Xác định đường thẳng hoặc vectơ pháp tuyến thích hợp.
- Luyện tập với đầy đủ các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.
- Sử dụng các công cụ trực tuyến để luyện tập miễn phí và theo dõi tiến độ.