1. Giới thiệu về Hai mặt phẳng vuông góc và ý nghĩa trong Hình học không gian lớp 11

Trong hình học không gian, việc nhận biết và khai thác mối quan hệ giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, mặt phẳng là rất quan trọng. Một trong những kiến thức trọng tâm là khái niệm hai mặt phẳng vuông góc. Nó không chỉ xuất hiện nhiều trong các bài toán về hình học không gian lớp 11 mà còn là kiến thức nền tảng để học tốt các chương nâng cao hoặc giải quyết các dạng toán thực tế liên quan đến các công trình kiến trúc, kỹ thuật.

2. Định nghĩa Hai Mặt Phẳng Vuông Góc

Hai mặt phẳng$(P)$và$(Q)$được gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng$a$thuộc mặt phẳng$(P)$, và một đường thẳng$b$thuộc mặt phẳng$(Q)$, sao cho$a \perp b$tại điểm chung của chúng, và$a$và$b$cùng thuộc giao tuyến$\Delta = (P) \cap (Q)$.

Có thể hiểu cách khác:Hai mặt phẳng$(P)$và$(Q)$vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với toàn bộ mặt phẳng kia.

3. Phân tích từng bước và ví dụ minh họa

Xét hai mặt phẳng$(P)$và$(Q)$cắt nhau theo giao tuyến$riangle$. Một đường thẳng$d$vuông góc với giao tuyến tại điểm$O$. Lấy đường thẳng$a$thuộc$(P)$và$b$thuộc$(Q)$cùng đi qua$O$, thoả mãn$a \perp b$, khi đó $(P) \perp (Q)$tại đường thẳng$\triangle$.

Ví dụ 1:Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng$(ABC)$và $(ABB'A')$vuông góc với nhau.

Giải:- Mặt$(ABC)$chứa cạnh$AB$và $AC$.
- Mặt$(ABB'A')$chứa các cạnh$AB$và $AA'$.
- Cạnh$AB$là giao tuyến chung. Ta xét$AC \in (ABC)$,$AA' \in (ABB'A')$.
- Ta có $AC \perp AA'.$

Vì vậy,$(ABC) \perp (ABB'A')$tại$AB$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, bạn chỉ cần chỉ ra có một đường trong mặt phẳng này vuông góc với một đường trong mặt phẳng kia cùng thuộc giao tuyến.
- Nếu hai mặt phẳng không cắt nhau (song song), không có khái niệm vuông góc giữa chúng.
- Không nên chỉ xét các đường thẳng đồng phẳng hoặc vuông góc vớt giao tuyến một cách không chính xác.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Khái niệm hai mặt phẳng vuông góc liên quan chặt chẽ đến:
+ Hai đường thẳng vuông góc
+ Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
+ Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
- Là cơ sở để xác định giao tuyến, đường vuông góc chung, các bài toán hình học không gian như thể tích, diện tích, khoảng cách, v.v.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1:Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$, chứng minh$(ABC)$và $(ABB'A')$vuông góc với nhau.

Lời giải:- Giao tuyến chung của hai mặt phẳng là $AB$.
- Trong$(ABC)$, lấy$AC$; trong$(ABB'A')$, lấy$AA'$.
- Vì $AC \perp AA'$, nên$(ABC) \perp (ABB'A')$tại$AB$.

Bài 2:Cho tứ diện$ABCD$với$AB \perp (BCD)$. Chứng minh$(ABD)$và $(BCD)$vuông góc với nhau.

Lời giải:-$AB$nằm trong$(ABD)$và vuông góc với mọi đường thuộc$(BCD)$qua$B$, theo giả thiết.
- Đặc biệt$AB \perp BC$,$AB \perp BD$.
- Do đó,$(ABD) \perp (BCD)$tại$B$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa đường vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc.
- Không xác định đúng giao tuyến chung.
- Cho rằng chỉ cần có một đường trong mặt phẳng này vuông góc với một đường nào đó trong mặt phẳng kia là đủ, mà không xét chúng phải cùng thuộc giao tuyến.

8. Tóm tắt, Ghi nhớ và Điểm chính cần chú ý

- Hai mặt phẳng vuông góc khi có một đường thuộc giao tuyến vuông góc với mặt phẳng còn lại.
- Luôn xác định giao tuyến chung trước khi xét vuông góc.
- Thường gặp dạng bài toán này trong các khối đa diện đều, hình hộp, lăng trụ, tứ diện.
- Hiểu chuẩn xác định nghĩa để vận dụng đúng trong các bài tập hình học không gian.
- Luyện tập thêm các bài toán vẽ hình, minh họa trực quan để tránh sai sót.

9. Tài liệu tham khảo và lời khuyên học tốt

- Ôn kỹ định nghĩa, vẽ hình chính xác, luyện các bài cơ bản và nâng cao.
- Tham khảo sách giáo khoa Hình học 11, sách tham khảo nâng cao.
- Đọc thêm các bài toán ứng dụng hai mặt phẳng vuông góc trong đời sống và khoa học kỹ thuật để tăng hứng thú học tập.

10. Kết luận

Việc nắm chắc khái niệm hai mặt phẳng vuông góc, các dạng bài tập đi kèm và kỹ năng phân tích, trình bày lời giải là bước đệm quan trọng chinh phục các chủ đề lớn hơn của Hình học không gian lớp 11 và các kỳ thi quan trọng sau này.