Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập: Lý thuyết, Công thức & Bài tập chi tiết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán xác suất lớp 11, nằm trong Chương VIII: Các quy tắc tính xác suất. Việc nắm vững các khái niệm này giúp học sinh hiểu cách xây dựng biến cố, phân tích các tình huống thực tế, đồng thời giải các bài toán xác suất chính xác, logic hơn.

Hiểu rõ biến cố hợp, giao và độc lập không chỉ giúp giải tốt các bài tập trong sách giáo khoa mà còn ứng dụng nhiều trong thực tế: xác suất rủi ro, dự đoán kết quả, tổ chức sự kiện… Có hàng trăm (ví dụ: 42.226+) bài tập thực hành, bạn có thể luyện tập miễn phí ngay sau khi học lý thuyết.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Biến cố hợp (A ∪ B): Là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
• Biến cố giao (A ∩ B): Là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra.
• Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu việc A xảy ra không làm thay đổi xác suất B xảy ra, và ngược lại.

Các định lý và tính chất quan trọng:
- Xác suất của hợp hai biến cố:$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)$
- Nếu A và B độc lập:$P(A ∩ B) = P(A) \cdot P(B)$
-$0 ≤ P(A), P(B) ≤ 1$

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức xác suất biến cố hợp:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Công thức xác suất biến cố giao:
$P(A \cap B)$
Nếu A và B độc lập:$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- Biến thể: Với nhiều biến cố, áp dụng quy tắc cộng/xác suất tổ hợp nhiều biến cố (chú ý quy tắc bao hàm–loại trừ).

Cách ghi nhớ: Lập sơ đồ Venn, chú ý các dấu hiệu: hợp = “hoặc”, giao = “và”, độc lập = nhân xác suất.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tung một đồng xu, biến cố A: xuất hiện mặt sấp, biến cố B: xuất hiện mặt ngửa.
- P(A) = 0.5, P(B) = 0.5
- Biến cố hợp: A ∪ B – nghĩa là xuất hiện mặt sấp HOẶC mặt ngửa. Vậy:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1$
- Biến cố giao: A ∩ B – nghĩa là đồng thời xuất hiện sấp VÀ ngửa (không thể xảy ra):
$P(A \cap B) = 0$
- Vì P(A ∩ B) = P(A)·P(B) = 0.5×0.5 = 0.25 ≠ 0 ⇒ A và B KHÔNG độc lập tuyệt đối (do các biến cố này xung khắc nhau).

Lưu ý: Khi các biến cố loại trừ nhau, xác suất giao bằng 0.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Trong một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh, rút lần lượt 2 viên không hoàn lại:
- A: Biên cố lấy được bi đỏ ở lần 1
- B: Biên cố lấy được bi đỏ ở lần 2

Giải:
P(A) = 5/8
Sau khi lấy 1 bi đỏ, còn 4 bi đỏ, 3 bi xanh:
P(B|A) = 4/7
=> P(A ∩ B) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14

Ở đây, A và B không độc lập (vì rút không hoàn lại).
Nếu rút hoàn lại, P(B) = 5/8, A và B độc lập.

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định rõ biến cố có liên quan nhau không (rút có hoàn lại/không hoàn lại), áp dụng đúng công thức.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Hai biến cố xung khắc:$A \cap B = \varnothing$thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Biến cố chắc chắn:$P(S) = 1$, biến cố không thể:$P(\varnothing) = 0$
• Nếu nhiều biến cố độc lập, xác suất giao là tích các xác suất thành phần.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn biến cố hợp và giao: nhớ "hoặc" (hợp), "và" (giao)
- Hiểu sai về tính độc lập: độc lập là mỗi biến cố xảy ra không ảnh hưởng biến cố kia
- Lẫn với "biến cố xung khắc" (không bao giờ đồng thời xảy ra)

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên trừ $P(A \cap B)$khi tính$P(A \cup B)$với 2 biến cố không xung khắc
- Áp dụng sai công thức khi các biến cố không độc lập
- Cách kiểm tra kết quả: Tổng xác suất không vượt quá 1; xét thực tế bước làm (lập bảng, dùng sơ đồ Venn)

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.226+ bài tập Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập miễn phí để luyện tập kỹ năng giải Toán xác suất. Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu học và giải bài tập ngay lập tức. Hệ thống còn hỗ trợ theo dõi tiến độ học tập để giúp bạn tiến bộ từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Biến cố hợp: xảy ra khi ít nhất 1 trong các biến cố xảy ra
- Biến cố giao: xảy ra khi tất cả các biến cố cùng xảy ra
- Biến cố độc lập: Xác suất một biến cố không phụ thuộc biến cố còn lại
- Ghi nhớ các công thức xác suất hợp, giao, độc lập

Checklist:
☑ Đã hiểu khái niệm hợp, giao, độc lập
☑ Biết phân biệt, áp dụng đúng công thức
☑ Ôn luyện đều đặn với các bài tập miễn phí

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Học lý thuyết → làm ví dụ mẫu → luyện tập hệ thống → rà soát lỗi sai → củng cố kiến thức bằng sơ đồ tư duy, ghi chú nội dung trọng tâm.