1. Giới thiệu về Công thức cộng xác suất

Trong xác suất, nhiều bài toán yêu cầu chúng ta xác định xác suất xảy ra của ít nhất một trong hai (hoặc nhiều) biến cố. Để giải quyết, ta sử dụng "công thức cộng xác suất". Khái niệm này rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, vì nó là nền tảng để giải quyết nhiều dạng toán thực tiễn và các bài toán nâng cao trong xác suất.

Công thức cộng xác suất không chỉ được sử dụng ở lớp 11 mà còn xuất hiện rất nhiều trong các bài thi THPT Quốc gia, các kỳ thi học sinh giỏi và ứng dụng rộng rãi trong các ngành như Kinh tế, Kỹ thuật, Thống kê, v.v.

2. Định nghĩa chính xác Công thức cộng xác suất

Giả sử $A$và $B$là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử. Khi đó, xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai biến cố $A$hoặc$B$(tức là xác suất của biến cố "$A$hoặc$B$" - ký hiệu$A \cup B$) được tính theo công thức:

Công thức tổng quát:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Trong đó:

$P(A)$: xác suất xảy ra biến cố $A$$P(B)$: xác suất xảy ra biến cố $B$$P(A \cap B)$: xác suất xảy ra đồng thời cả $A$và $B$

3. Phân tích từng bước, ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về công thức này, chúng ta hãy cùng xem xét các bước vận dụng qua một ví dụ cụ thể.

Ví dụ: Tung 1 viên xúc xắc. Gọi$A$: mặt xuất hiện là số chẵn. Gọi$B$: mặt xuất hiện là số lớn hơn 3. Hỏi xác suất để xuất hiện số là số chẵn hoặc lớn hơn 3?

- Không gian mẫu:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$($6$kết quả)

-$A = \{2, 4, 6\} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{6} = 0{,}5$

-$B = \{4, 5, 6\} \Rightarrow P(B) = \frac{3}{6} = 0{,}5$

-$A \cap B = \{4, 6\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{2}{6} \approx 0{,}33$

Áp dụng công thức cộng xác suất:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}5 - 0{,}33 = 0{,}67$

Vậy xác suất để xuất hiện số chẵn hoặc lớn hơn 3 là $0{,}67$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Trường hợp hai biến cố xung khắc (không xảy ra đồng thời):

Nếu$A$và $B$là hai biến cố xung khắc (tức là $A \cap B = \varnothing$), thì $P(A \cap B) = 0$. Khi đó:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Ví dụ: Rút 1 lá bài từ bộ bài Tây 52 lá:
-$A$: Lá bài được rút là lá cơ ($13$lá)
-$B$: Lá bài được rút là lá bích ($13$lá)
- Vì không có lá nào vừa là cơ vừa là bích nên$A$và $B$xung khắc
$P(A) = \frac{13}{52},\quad P(B) = \frac{13}{52},\quad P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{13}{52} = \frac{26}{52} = 0{,}5$

b) Khi mở rộng cho nhiều biến cố:
Với ba biến cố $A$,$B$,$C$, công thức cộng xác suất tổng quát:

$<br />P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) <br /> - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) <br /> + P(A \cap B \cap C)<br />$

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Công thức cộng xác suất là một ứng dụng của quy tắc đếm, trong đó phải tránh tính trùng lặp các trường hợp (nguyên lý cộng trong tổ hợp).

- Công thức này cũng liên quan chặt chẽ với phép toán tập hợp (liên hợp -$\cup$, giao -$\cap$) trong toán học, giúp chúng ta xác định số phần tử của hợp hai tập hợp.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 bạn thích Toán, 12 bạn thích Văn, 7 bạn thích cả Toán và Văn. Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một bạn thích Toán hoặc thích Văn.

Giải: Gọi$A$: bạn thích Toán;$B$: bạn thích Văn

- Số học sinh thích Toán:$n(A) = 18$
- Số học sinh thích Văn:$n(B) = 12$
- Số học sinh thích cả Toán và Văn:$n(A \cap B) = 7$

Áp dụng:
$P(A) = \frac{18}{30};\, P(B) = \frac{12}{30};\, P(A \cap B) = \frac{7}{30}$

Công thức cộng xác suất:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$

Vậy xác suất chọn được một bạn thích Toán hoặc Văn là $\frac{23}{30}$.

Bài 2: Trong 100 học sinh, có 60 bạn biết tiếng Anh, 45 bạn biết tiếng Pháp và 20 bạn không biết tiếng nào. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một bạn biết ít nhất một trong hai thứ tiếng.

Giải:

Tổng số học sinh biết ít nhất một thứ tiếng (Anh hoặc Pháp):$n = 100 - 20 = 80$

Xác suất:
$P = \frac{80}{100} = 0{,}8$

Hoặc nếu yêu cầu tìm số học sinh biết cả hai thứ tiếng, đặt$n(A \cup B) = 80$,$n(A) = 60$,$n(B) = 45$, theo nguyên lý cộng:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$80 = 60 + 45 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 25$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Quên trừ $P(A \cap B)$khi hai biến cố không xung khắc. Dẫn đến tính thừa xác suất các trường hợp đồng thời xảy ra.Hiểu nhầm các biến cố là xung khắc khi thực tế chúng có phần giao.Không xác định đúng xác suất các biến cố thành phần.Không kiểm tra tổng xác suất phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.

8. Tóm tắt và những điểm cần nhớ

Công thức cộng xác suất dùng để tính xác suất union (hợp) hai biến cố:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$Nếu$A$và $B$xung khắc, công thức đơn giản thành$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.Khái niệm này phù hợp với nguyên lý cộng/loại trừ trong tổ hợp và liên hệ phép toán tập hợp.Áp dụng đúng công thức sẽ giúp tránh tính lặp các trường hợp trùng lặp.Kiểm tra kỹ điều kiện bài toán để áp dụng công thức đúng!

Công thức cộng xác suất là nền tảng của xác suất tổ hợp và các bài toán thực tiễn – hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo khái niệm này!

Từ khóa tham khảo: công thức cộng xác suất, xác suất lớp 11, hướng dẫn xác suất, giải thích công thức cộng xác suất, bài tập xác suất.

Hãy tiếp tục luyện tập và đừng quên hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn!

Chúc các bạn học tốt!