1. Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của công thức cộng xác suất

Trong chương trình Toán lớp 11, xác suất là một chủ đề rất quan trọng và cơ sở cho nhiều phần học nâng cao sau này. Trong đó, công thức cộng xác suất là một trong những kiến thức cơ bản, giúp học sinh giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến nhiều biến cố. Hiểu vững công thức này sẽ giúp bạn giải các dạng bài về xác suất của hợp các biến cố, ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn và các kỳ thi.

2. Định nghĩa chính xác của công thức cộng xác suất

Giả sử A và B là hai biến cố trong một không gian mẫu, khi đó xác suất của biến cố 'A hoặc B' (ký hiệu$A \cup B$) được tính theo công thức cộng xác suất như sau:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Nghĩa là: Xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B bằng tổng xác suất của A và xác suất của B, trừ đi xác suất đồng thời xảy ra cả A và B (tức$A \cap B$).

3. Giải thích từng bước qua ví dụ minh họa

Ví dụ: Xét một bộ bài 52 lá. Lấy ngẫu nhiên 1 lá, xác suất để lá bốc được là quân cơ (ký hiệu là biến cố A), xác suất để lá bốc được là quân át (ký hiệu là biến cố B). Tính xác suất để bốc được quân cơ hoặc quân át.

- Số lá cơ: 13 (gồm cả át cơ)
- Số lá át: 4 (cơ, rô, chuồn, bích)
- Số lá là cả cơ và át (tức át cơ): 1

Áp dụng công thức:

$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

$P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

$P(A \cap B) = \frac{1}{52}$

Suy ra:

$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Như vậy, xác suất bốc được quân cơ hoặc quân át là $\frac{4}{13}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Trường hợp A và B là hai biến cố xung khắc nhau (tức$A \cap B = \varnothing$), thì $P(A \cap B) = 0$, nên$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

- Với nhiều hơn hai biến cố, công thức cộng xác suất tổng quát là:

$P(A_1 \cup A_2 \cup... \cup A_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \displaystyle\sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \displaystyle\sum_{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) -...$

Công thức này gọi là công thức cộng xác suất cho nhiều biến cố (nguyên lý bao hàm - loại trừ).

- Luôn xác định rõ các biến cố có giao nhau hay không để áp dụng công thức cho đúng, tránh nhầm lẫn khi tính xác suất giao nhau.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Công thức cộng xác suất liên quan chặt chẽ đến:
- "Tập hợp" (liên kết với phép hợp và giao)
- Công thức xác suất cơ bản
- Công thức xác suất có điều kiện
- Quy tắc bao hàm - loại trừ trong tổ hợp
- Các bài toán xác suất hợp và giao các biến cố, giúp xây dựng nền tảng cho xác suất rời rạc và liên tục về sau

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Trong một lớp học có 30 bạn, trong đó có 18 bạn thích Toán, 10 bạn thích Văn, có 5 bạn thích cả Toán và Văn. Tính xác suất chọn được một bạn bất kỳ trong lớp thích Toán hoặc thích Văn.

Giải:
- Gọi A: "Bạn thích Toán"
- Gọi B: "Bạn thích Văn"

Kích thước không gian mẫu:$n(\Omega) = 30$

$P(A) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
$P(B) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$
$P(A \cap B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{18 + 10 - 5}{30} = \frac{23}{30}$

Vậy xác suất chọn được bạn thích Toán hoặc thích Văn là $\frac{23}{30}$.

Bài tập 2:
Xúc xắc 6 mặt, xác suất để ra số chẵn hoặc số lớn hơn 4?

Lời giải:
- Số chẵn: 2,4,6 (A: 3 số)
- Số >4: 5,6 (B: 2 số)
- Số vừa chẵn vừa >4: số 6 (C: 1 số)

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Bài tập 3: (Tổng quát nhiều biến cố)
Một nhóm có 100 người: 60 người biết tiếng Anh, 50 biết tiếng Pháp, 30 biết cả hai. Chọn ngẫu nhiên một người, xác suất người được chọn biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ?

Giải:
$P(A) = \frac{60}{100} = 0,6$
$P(B) = \frac{50}{100} = 0,5$
$P(A \cap B) = \frac{30}{100} = 0,3$

$P(A \cup B) = 0,6 + 0,5 - 0,3 = 0,8$

Vậy xác suất cần tìm là 0,8 (hay 80%).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên trừ phần giao: Nếu chỉ cộng$P(A)$và $P(B)$mà không trừ $P(A \cap B)$, kết quả sẽ bị thừa phần giao.
- Không xác định đúng các biến cố giao nhau: Cần xác định rõ các trường hợp biến cố có giao hay không, và chính xác giao là những trường hợp nào.
- Lẫn lộn xác suất với số phần tử: Cần luôn chuyển số phần tử thành xác suất (bằng cách chia cho tổng số phần tử của không gian mẫu).
- Bỏ sót trường hợp với nhiều biến cố: Với nhiều biến cố, không chỉ trừ giao hai mà phải cộng trừ theo đúng công thức bao hàm-loại trừ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Công thức cộng xác suất:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Trường hợp biến cố xung khắc:$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- Khi áp dụng luôn kiểm tra phần giao các biến cố
- Áp dụng đúng công thức giúp giải nhanh và chính xác bài toán xác suất nhiều biến cố
- Đây là nền tảng của xác suất, cần nắm vững để học tốt các chương sau