Bài 3: Hàm số lượng giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm hàm số lượng giác và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 11, "hàm số lượng giác" là một chủ đề quan trọng, nằm trong chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác. Bài toán về hàm số lượng giác không chỉ cung cấp kiến thức nền tảng về các hàm sine, cosine, tangent, cotangent mà còn giúp học sinh ứng dụng trong giải các bài toán thực tế cũng như các kỳ thi lớn như kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu đúng về hàm số lượng giác giúp học sinh nắm vững các khái niệm hình học, đại số cũng như ứng dụng chúng vào các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, vật lý.

2. Định nghĩa chính xác về hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là các hàm số được định nghĩa dựa trên các tỉ số lượng giác của một góc, cụ thể là hàm$oxed{\sin~x}$,$oxed{\cos~x}$,$oxed{\tan~x}$,$oxed{\cot~x}$. Trong đó:

-
Hàm số sin:$y = \sin~x$

-
Hàm số cos:$y = \cos~x$

-
Hàm số tan:$y = \tan~x, ext{với} x <br />e \frac{ext{π}}{2} + kext{π},~k ext{nguyên}.$

-
Hàm số cot:$y = \cot~x, ext{với} x <br />e kext{π},~k ext{nguyên}.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a. Hàm số sin ($y = \sin~x$)

Hàm số sin nhận giá trị dao động trong đoạn$[-1;1]$, là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2ext{π}$vì $\sin(x+2ext{π}) = \sin~x$với mọi$x$. Đồ thị của hàm sin là một đường sóng, đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Tính$\sin~0$,$\sin~\frac{ext{π}}{2}$,$\sin~ext{π}$. Kết quả:
-$\sin~0 = 0$
-$\sin~\frac{ext{π}}{2} = 1$
-$\sin~ext{π} = 0$

b. Hàm số cos ($y = \cos~x$)

Hàm số cos cũng có giá trị trong đoạn$[-1;1]$và là hàm tuần hoàn chu kỳ $2ext{π}$:$\cos(x+2ext{π}) = \cos~x$với mọi$x$. Đồ thị của hàm cos giống đồ thị sin nhưng dịch sang trái$\frac{ext{π}}{2}$ đơn vị.

Ví dụ:$\cos~0 = 1$,$\cos~\frac{ext{π}}{2} = 0$,$\cos~ext{π} = -1$

c. Hàm số tan ($y = \tan~x$)

Hàm số tan có chu kỳ $ext{π}$:$\tan(x+ext{π}) = \tan~x$và không xác định tại$x = \frac{ext{π}}{2} + kext{π},~k ext{nguyên}$(vì mẫu số cos bằng 0).

Ví dụ:
-$\tan~0 = 0$
-$\tan~\frac{ext{π}}{4} = 1$
-$\tan~\frac{ext{π}}{2}$: không xác định

d. Hàm số cot ($y = \cot~x$)

Hàm số cot có chu kỳ $ext{π}$:$\cot(x+ext{π}) = \cot~x$và không xác định tại$x = kext{π},~k ext{nguyên}$(vì mẫu số sin bằng 0).

Ví dụ:
-$\cot~\frac{ext{π}}{4} = 1$
-$\cot~\frac{ext{π}}{2} = 0$
-$\cot~0$: không xác định

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm sin, cos là $1$và $-1$
- Hàm tan và cot không xác định tại các điểm cos$x = 0$(đối với tan) hoặc sin$x = 0$(đối với cot)
- Khi giải các phương trình liên quan đến hàm số lượng giác, chú ý chu kỳ và tập xác định của từng hàm

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm số lượng giác liên quan chặt chẽ đến đường tròn lượng giác.
- Công thức lượng giác cơ bản:$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Định nghĩa hàm lượng giác theo tọa độ điểm trên đường tròn

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính các giá trị lượng giác sau:
(a)$\sin~\frac{ext{π}}{6}$
(b)$\cos~\frac{ext{π}}{3}$
(c)$\tan~\frac{ext{π}}{4}$

Giải:
(a)$\sin~\frac{ext{π}}{6} = \frac{1}{2}$
(b)$\cos~\frac{ext{π}}{3} = \frac{1}{2}$
(c)$\tan~\frac{ext{π}}{4} = 1$

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số $y = \sin~x$là hàm số lẻ và $y = \cos~x$là hàm số chẵn.

Giải:
- Hàm số lẻ:$\sin(-x) = -\sin~x$với mọi$x$
- Hàm số chẵn:$\cos(-x) = \cos~x$với mọi$x$

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị $x$thỏa mãn$\tan~x = 0$trên khoảng$[0;2ext{π}]$

Giải:$\tan~x = 0$khi$x = kext{π}$với$k$nguyên. Trên$[0;2ext{π}]$,$x = 0; ext{π}; 2ext{π}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên tập xác định của các hàm tan và cot
- Đổi đơn vị góc giữa radian và độ không chính xác
- Nhầm lẫn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sin, cos
- Không áp dụng đúng tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm số lượng giác gồm 4 hàm cơ bản: sin, cos, tan, cot
- Các hàm này đều tuần hoàn, có chu kỳ xác định
- Hiểu rõ tập xác định, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tính chẵn lẻ, đồ thị
- Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và thực tiễn
- Học thuộc các giá trị lượng giác cơ bản và các công thức liên hệ