1. Giới thiệu về cấp số nhân và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 11

Cấp số nhân (CSN) là một trong những chủ đề quan trọng của đại số lớp 11, bên cạnh cấp số cộng. Việc học cấp số nhân không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, làm việc với dãy số mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế như tính toán lãi suất ngân hàng, mô hình dân số, vật lý, hóa học và cả xác suất – thống kê. Sau khi nắm vững CSN, học sinh dễ dàng tiếp thu các kiến thức về dãy số, chuỗi, giới hạn và lý thuyết hàm số ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số $(u_n)$ được gọi là cấp số nhân khi từ số hạng thứ hai trở đi, bất kỳ số hạng nào đều bằng tích của số hạng ngay trước nó với một số thực không đổi$q$(gọi là công bội):

Công thức tổng quát:

Ở đó:
-$u_n$là số hạng thứ $n$;
-$u_1$là số hạng đầu tiên;
-$q$là công bội (số thực khác$0$).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số $u_1 = 2$,$q = 3$. Hãy xác định 5 số hạng đầu tiên.

Áp dụng công thức$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:

-$u_1 = 2$
-$u_2 = 2 \cdot 3^{2-1} = 2 \cdot 3 = 6$
-$u_3 = 2 \cdot 3^{3-1} = 2 \cdot 9 = 18$
-$u_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 27 = 54$
-$u_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162$

Vậy dãy số là:$2, 6, 18, 54, 162$.

Ví dụ 2: Cho biết số hạng đầu$u_1 = 8$, công bội$q = \frac{1}{2}$. Số hạng thứ 4 là:

$u_4 = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$. Vậy$u_4 = 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu$q = 1$thì mọi số hạng của dãy đều bằng nhau, dãy trở thành hằng số.
• Nếu$|q| < 1$: Dãy số tiến dần về 0 khi$n$tăng.
• Nếu$q > 1$: Dãy tăng rất nhanh (lũy thừa).
• Nếu$q < 0$: Dãy có tính chất dao động quanh 0.
• Không có cấp số nhân với$q = 0$(ngoại trừ tất cả số hạng đều bằng 0).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Cấp số nhân liên kết chặt chẽ với cấp số cộng (nơi các số hạng hơn kém nhau một lượng không đổi – công sai). Nếu lấy logarit cơ số $q$của mỗi số hạng CSN, bạn sẽ được một cấp số cộng:

CSN còn xuất hiện trong các bài toán tính lãi kép, động lực học, và là nền tảng để học các chuỗi số, giới hạn dãy số trong giải tích.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm công bội$q$biết$u_1 = 5, u_4 = 40$.

Lời giải:

Theo công thức:$u_4 = u_1 \cdot q^{4-1} = 5 \cdot q^3 = 40$nên$q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$.

Bài tập 2: Tìm số hạng thứ 6 biết$u_3 = 24, q = 2$.

Ta biết$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$,$u_3 = u_1 \cdot 2^{2} = 4u_1 = 24 \Rightarrow u_1 = 6$.

$u_6 = 6 \cdot 2^{5} = 6 \cdot 32 = 192$.

Bài tập 3: Cho$u_1 = 81$,$q = \frac{1}{3}$. Tính tổng 5 số hạng đầu tiên.

Áp dụng công thức tổng$n$số hạng đầu của CSN:

$S_5 = 81 \cdot \frac{1-(1/3)^5}{1-1/3} = 81 \cdot \frac{1-1/243}{2/3} = 81 \cdot \frac{242/243}{2/3} = 81 \cdot \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = 81 \cdot \frac{726}{486} = 81 \cdot \frac{11}{9} = 99$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm công bội$q$với công sai$d$trong cấp số cộng.
• Đặt sai chỉ số mũ $(n-1)$khi dùng công thức$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
• Áp dụng sai công thức tổng CSN khi$q = 1$(trường hợp này dùng$S_n = n \cdot u_1$).
• Lẫn lộn giữa cấp số cộng và cấp số nhân.
• Quên điều kiện$q <br> \neq 0$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Cấp số nhân là dãy số mà tỉ số giữa 2 số hạng liên tiếp là hằng số $q$(công bội).
• Công thức số hạng tổng quát:$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
• Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q}$($q <br> \neq 1$).
• Xác định rõ $q$có thể âm, dương, nhỏ hơn hay lớn hơn 1 để phân tích tính chất.
• Ứng dụng thực tiễn trong lãi suất, tăng trưởng dân số, vật lý, hoá học…