1. Giới thiệu về cấp số nhân và tầm quan trọng trong Toán lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, kiến thức về dãy số nói chung và cấp số nhân nói riêng đóng vai trò quan trọng, là nền tảng để học sinh tiếp cận các nội dung nâng cao hơn như hàm mũ, hàm logarit, toán tài chính, xác suất... Cấp số nhân giúp chúng ta hiểu rõ về sự phát triển theo cấp bậc nhân, xuất hiện rất nhiều trong đời sống thực tế.

Một số ví dụ ứng dụng thực tế: tiền gửi ngân hàng có lãi suất kép, mô hình tăng trưởng dân số, sự phát triển của vi sinh vật, phân rã phóng xạ… Do vậy, việc nắm vững khái niệm và cách giải các bài toán về cấp số nhân là rất cần thiết.

2. Định nghĩa chính xác về cấp số nhân

Cấp số nhân (còn gọi là dãy số nhân) là một dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai trở đi) bằng số hạng ngay trước nó nhân với một số không đổi (khác 0) gọi là công bội.

Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$được gọi là cấp số nhân nếu tồn tại một số$q \neq 0$sao cho với mọi$n \geq 1$,$u_{n+1} = u_n \cdot q$.

Trong đó:

• Số $q$gọi là công bội.
• Số $u_1$là số hạng đầu.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng tìm hiểu qua ví dụ cụ thể:

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu$u_1 = 3$, công bội$q = 2$. Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của dãy.

Giải:

$u_1 = 3$

$u_2 = u_1 \cdot q = 3 \times 2 = 6$

$u_3 = u_2 \cdot q = 6 \times 2 = 12$

$u_4 = u_3 \cdot q = 12 \times 2 = 24$

$u_5 = u_4 \cdot q = 24 \times 2 = 48$

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy là $3, 6, 12, 24, 48$.

Công thức số hạng tổng quát:

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Cách tính tổng$n$số hạng đầu:

$S_n = u_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}\ (q \neq 1)$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu$|q| > 1$: các số hạng có giá trị tuyệt đối tăng dần.
• Nếu$|q| < 1$: các số hạng có giá trị tuyệt đối giảm dần.
• Nếu$q = 1$: các số hạng đều bằng nhau (dãy hằng số).
• Nếu$q < 0$: dãy số có các số hạng luân phiên dương, âm.

Lưu ý: Công bội$q$không thể bằng 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Cấp số nhân là trường hợp đặc biệt của dãy số nói chung, là anh em với cấp số cộng (dãy số mà các số hạng cách nhau một hằng số gọi là công sai). Cấp số nhân liên quan mật thiết đến các bài toán lũy thừa, logarit, các bài toán về tài chính, xác suất và chuỗi hình học trong giải tích.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho cấp số nhân$(u_n)$có $u_1 = 5$,$q = -2$. Tìm$u_5$.

Giải:

Ta sử dụng công thức tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$

$u_5 = 5 \cdot (-2)^{5-1} = 5 \cdot 16 = 80$

Chú ý dấu âm chỉ xuất hiện ở $q$lẻ,$u_5$dương.

Bài 2: Tính tổng 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có $u_1 = 2$,$q = 3$.

Giải:

$S_6 = 2 \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2 \dfrac{729 - 1}{2} = 2 \cdot 364 = 728$

Bài 3: Cho ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là $x, 6, 24$. Tìm các số đó.

Giải:

Ta có:$\dfrac{6}{x} = \dfrac{24}{6} \Rightarrow 6^2 = x \cdot 24 \Rightarrow x = \dfrac{36}{24} = 1,5$

Ba số hạng:$1,5; 6; 24$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên công bội có thể âm, dẫn tới sai dấu số hạng.
• Nhầm lẫn cấp số cộng (cộng thêm) với cấp số nhân (nhân với).
• Áp dụng sai công thức tổng quát hoặc tổng khi$q = 1$.
• Không kiểm tra điều kiện$q \neq 0$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Cấp số nhân là dãy số có mỗi số hạng bằng số hạng trước đó nhân với công bội không đổi ($q \neq 0$).
• Số hạng tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$.
• Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$(với$q \neq 1$).
• Cần phân biệt rõ cấp số nhân và cấp số cộng.
• Để thành thạo khi giải, cần làm nhiều bài tập và chú ý các trường hợp đặc biệt.

Hy vọng bài học giúp các em hiểu sâu sắc bản chất "Bài 7: Cấp số nhân" và áp dụng hiệu quả khi làm bài tập cũng như vận dụng thực tế.