1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm và tầm quan trọng

Trong thống kê, khi xử lý một tập hợp lớn số liệu, việc phân chia dữ liệu thành các nhóm (lớp) giúp việc quan sát, phân tích trở nên trực quan và dễ hiểu hơn. "Mẫu số liệu ghép nhóm" (hay còn gọi là mẫu số liệu phân lớp) là dạng tổ chức dữ liệu rất phổ biến trong các thống kê về độ tuổi, thu nhập, chiều cao, điểm thi,... Việc nắm vững khái niệm và cách xử lý mẫu số liệu ghép nhóm là rất cần thiết cho học sinh lớp 11, giúp hiểu sâu hơn về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (trung bình, trung vị, mốt) và nền tảng cho việc ứng dụng thống kê vào thực tiễn.

2. Định nghĩa mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu trong đó các giá trị được phân chia thành các nhóm (hay còn gọi là các lớp), mỗi nhóm là một khoảng giá trị xác định. Mỗi nhóm sẽ có tần số (số lượng phần tử thuộc nhóm đó). Định nghĩa cụ thể:

Một mẫu số liệu ghép nhóm là một bảng trong đó mỗi hàng thể hiện một nhóm (lớp) giá trị, thường dưới dạng một khoảng, cùng với tần số (hoặc tần suất) của nhóm đó trong tập số liệu.

Ví dụ bảng mẫu số liệu ghép nhóm:

3. Giải thích từng bước cách lập và sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm

Để lập mẫu số liệu ghép nhóm và sử dụng trong thống kê, ta thực hiện qua các bước sau:

• Bước 1: Xác định khoảng biến thiên của số liệu (giá trị nhỏ nhất và lớn nhất).
• Bước 2: Chia khoảng đó thành các nhóm (khoảng giá trị/lớp). Số nhóm thường được chọn vừa phải để dễ quan sát (thường từ 5-10 nhóm).
• Bước 3: Đếm số phần tử thuộc từng nhóm (tần số của mỗi nhóm).
• Bước 4: Lập bảng phân bố tần số ghép nhóm.

Ví dụ minh họa:

Giả sử có bảng điểm toán của 30 học sinh: 2, 3, 5, 8, 6, 7, 4, 5, 9, 5, 6, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 7, 5, 3, 4, 6, 6, 8, 6, 7, 5.

• Giá trị nhỏ nhất: 2
  Giá trị lớn nhất: 9
  Do khoảng giá trị từ 2 đến 9 là 7 đơn vị, ta có thể chia thành 4 nhóm: 2 - 3, 4 - 5, 6 - 7, 8 - 9.

Sau khi có bảng tần số ghép nhóm, có thể tiếp tục tính các số đặc trưng như trung bình, trung vị, mốt cho số liệu ghép nhóm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi dùng mẫu số liệu ghép nhóm

• Chọn số nhóm phù hợp: Quá nhiều nhóm sẽ làm bảng rắc rối, quá ít nhóm sẽ thiếu tính chi tiết.
• Chọn khoảng nhóm đều nhau (chiều rộng các nhóm bằng nhau) giúp việc tính trung bình, trung vị, mốt thuận lợi hơn.
• Khi số liệu quá ít, không nên ghép nhóm.

Chú ý: Số liệu ở biên (ví dụ đúng ở ranh giới giữa hai nhóm) cần quy ước rõ thuộc nhóm nào.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Mẫu số liệu ghép nhóm chính là nền tảng cho các bài toán tính các số đặc trưng như trung bình số học, trung vị (median), mốt (mode) trong bảng ghép nhóm.
- Kết hợp với các khái niệm về tần số, tần suất tương đối, biểu đồ (histogram),... trong thống kê.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho bảng sau là số liệu về chiều cao (đơn vị: cm) của 50 học sinh. Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm: 150-154, 155-159, 160-164, 165-169.
Số liệu: 151, 152, 154, 155, 156, 156, 159, 161, 163, 165, 167, 167, 170, 153, 155, 155, 158, 158, 160, 162, 164, 169, 150, 165, 168, 155, 157, 159, 161, 166, 150, 151, 152, 154, 160, 161, 163, 165, 167, 169, 169, 167, 164, 162, 160, 158, 157, 154, 151, 165.

• Bước 1: Đếm số lượng thuộc từng nhóm:
• 150-154: 10 học sinh
  155-159: 12 học sinh
  160-164: 13 học sinh
  165-169: 14 học sinh
  Trên 169: 1 học sinh (không thuộc nhóm đã cho)

Bài tập 2: Cho bảng mẫu số liệu ghép nhóm dưới đây. Tính số trung bình cộng (trung bình số học) của mẫu số liệu cho trước.

Ta sử dụng công thức tính trung bình cộng ghép nhóm:

Công thức:
$<br />\overline{x} = \frac{\sum(f_i \cdot x_i)}{N}<br />$
Trong đó:
- $f_i$: tần số của nhóm thứ $i$.
- $x_i$: giá trị trung bình của nhóm thứ $i$(trung điểm nhóm).
-$N$: tổng tần số.

Tính từng trung điểm nhóm:
- Nhóm 2-4:$x_1 = \frac{2+4}{2} = 3$
- Nhóm 4-6:$x_2 = \frac{4+6}{2} = 5$
- Nhóm 6-8:$x_3 = \frac{6+8}{2} = 7$
- Nhóm 8-10:$x_4 = \frac{8+10}{2} = 9$

Tính tổng:
$\sum f_i x_i = 6 \times 3 + 12 \times 5 + 8 \times 7 + 4 \times 9 = 18 + 60 + 56 + 36 = 170$
Tổng tần số $N=6+12+8+4=30$
Vậy trung bình cộng:
$<br />\overline{x} = \frac{170}{30} \approx 5.67<br />$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chia nhóm không đều hoặc không che hết toàn bộ giá trị số liệu.
• Đếm nhầm tần số nhóm do nhầm lẫn giá trị biên.
• Chọn số lượng nhóm quá nhiều hoặc quá ít, gây mất ý nghĩa thống kê.

Để tránh, cần kiểm tra kỹ quy tắc chia nhóm, đánh dấu rõ ràng biên nhóm, rà soát lại số liệu khi thực hiện.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Mẫu số liệu ghép nhóm giúp bảng số liệu gọn gàng, giảm nhiễu và dễ phân tích.
• Quan trọng trong bước đầu xử lý số liệu thống kê: lập bảng tần số và chuẩn bị tính các số đặc trưng.
• Cần lưu ý chia nhóm hợp lý, xử lý số liệu biên và kiểm đếm cẩn thận.

Việc hiểu vững mẫu số liệu ghép nhóm là chìa khóa để giải quyết tốt các bài toán thống kê sau này trong chương trình Toán lớp 11 và cả các ứng dụng trong thực tế đời sống.