Blog

Lớp 11

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Toán 11) – Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Toán 11)

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là nội dung quan trọng thuộc chương III Toán lớp 11, giúp học sinh hiểu về các đại lượng đặc trưng thể hiện xu hướng “trung bình, điển hình” của một tập hợp số liệu—trọng tâm trong Thống kê. Mỗi phép đo như số trung bình cộng, trung vị, mốt... đều giúp rút ra nhận xét khái quát về dữ liệu, ứng dụng rất nhiều trong đời sống (phân tích điểm thi, so sánh mức thu nhập, đánh giá kết quả sản xuất, nghiên cứu xã hội, v.v.). Vì vậy, nắm vững lý thuyết và cách thực hành dạng bài này là điều kiện cần để học tốt các môn học liên quan đến xác suất – thống kê và ứng dụng thực tế sau này.

Việc hiểu rõ các số đặc trưng này không chỉ giúp giải bài tập hiệu quả mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic, phân tích – tổng hợp dữ liệu. Đặc biệt, với hơn 42.666+ bài tập luyện tập miễn phí, bạn có thể rèn luyện nhuần nhuyễn mà không lo thiếu tài liệu.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

  • Định nghĩa: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là các đại lượng đại diện cho một dãy số liệu thống kê, cho biết mức “trung bình”, “điển hình” của một tập dữ liệu.
  • - Số trung bình cộng (Mean): Tổng các giá trị chia cho số lượng. Định nghĩa: x‾=1n(x1+x2+⋯+xn)\overline{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \dots + x_n)hoặc nếu mỗi giá trị có tần số nin_i, x‾=1N∑i=1knixi\overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i, với N=∑niN = \sum n_i.
  • - Trung vị (Median): Là giá trị ở vị trí giữa của dãy số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm.
  • - Mốt (Mode): Là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy số liệu.
  • Điều kiện áp dụng: Chỉ dùng số trung bình cộng khi dữ liệu đầy đủ, không có giá trị dị biệt (outlier) quá lớn. Cần chú ý tính chất và đặc điểm của dữ liệu để chọn số đặc trưng phù hợp.
  • Định lý tính chất: Số trung bình cộng của nhiều nhóm hợp lại (tổng các số trung bình nhóm nhân theo số lượng, chia tổng số lượng). Trung vị và mốt không bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị cực trị.

    • 2.2. Công thức và quy tắc

  • Công thức số trung bình cộng: x‾=∑i=1knixiN\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i x_i}{N}vớiN=∑i=1kniN = \sum_{i=1}^k n_i
  • Trung vị: Sắp xếpnnsố liệu theo thứ tự tăng dần:
    - Nếunnlà số lẻ: Trung vị là giá trị ở vị trí n+12\frac{n+1}{2}.
    - Nếunnlà số chẵn: Trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí n2\frac{n}{2}và n2+1\frac{n}{2} + 1.
    • Minh họa quá trình xác định trung vị cho bộ dữ liệu cụ thể: n lẻ (7 giá trị) và n chẵn (8 giá trị), với vị trí k xác định và giá trị trung vị trên trục số
  • Mốt: Giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.
  • Ghi nhớ: Luyện tập nhiều lần và đặt ví dụ thực tiễn cho từng công thức để nhớ dễ hơn.
  • Các biến thể: Có thể gặp trung bình cộng trọng số, trung vị hoặc mốt trong các bảng phân phối tần số.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1. Ví dụ cơ bản

    Đề bài: Cho dãy số 5,7,7,9,105, 7, 7, 9, 10. Tính số trung bình cộng, trung vị và mốt.

  • Bước 1: Số trung bình cộngx‾=5+7+7+9+105=385=7,6\overline{x} = \frac{5 + 7 + 7 + 9 + 10}{5} = \frac{38}{5} = 7,6
  • Bước 2: Trung vị:n=5n = 5(lẻ), trung vị là số thứ 33(đã tăng dần), vậy trung vị là 77.
  • Bước 3: Mốt: Giá trị 77xuất hiện nhiều nhất (2 lần), nên mốt là 77.

    • Lưu ý: Khi dãy số lượng ít, nên kiểm tra kỹ phép tính và thứ tự số liệu.

    3.2. Ví dụ nâng cao

    Đề bài: Cho bảng phân phối sau về điểm kiểm tra:

    xi=5,6,7,8,9,10x_i = 5,6,7,8,9,10 với số học sinh tương ứng ni=2,4,6,5,2,1n_i = 2,4,6,5,2,1 " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
    Biểu đồ cột phân phối tần số điểm kiểm tra: các mức điểm xi=5,6,7,8,9,10x_i = 5,6,7,8,9,10 với số học sinh tương ứng ni=2,4,6,5,2,1n_i = 2,4,6,5,2,1
  • Tính số trung bình cộng:

    • N=2+4+6+5+2+1=20N = 2 + 4 + 6 + 5 + 2 + 1 = 20

    <br/>x‾=2×5+4×6+6×7+5×8+2×9+1×1020=10+24+42+40+18+1020=14420=7,2<br />\overline{x} = \frac{2 \times 5 + 4 \times 6 + 6 \times 7 + 5 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10}{20} = \frac{10 + 24 + 42 + 40 + 18 + 10}{20} = \frac{144}{20} = 7,2

  • Cách tìm trung vị trong bảng phân phối: cộng dồn tần số, lấy vị trí N/2N/2và N/2+1N/2+1, tìm giá trị tương ứng.
  • Mốt: Giá trị xuất hiện nhiều nhất (tần số lớn nhất là 6: điểm 7).

    • Kinh nghiệm: Luôn cộng dồn tần số để xác định đúng trung vị trong bảng.

    Đồ thị tần số tích lũy cho bảng phân phối gồm các giá trị x = [10, 20, 30, 40, 50] với tần số f = [3, 7, 5, 4, 1]; đánh dấu các đường ngang tại N/2 = 10 và N/2+1 = 11 tương ứng với giá trị x_(10) = 20
    Biểu đồ tần suất của dãy số [1, 2, 2, 3, 3, 3, 4] với mốt là giá trị 3 xuất hiện nhiều nhất
    Biểu đồ cột minh họa tính số trung bình cộng cho bộ dữ liệu [2, 4, 5, 7, 9] với đường trung bình cộng x̄ = 5.40 (bên trái) và tính số trung bình cộng có trọng số cho các giá trị xᵢ = (1, 3, 5, 7) với

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Nếu có hai hoặc nhiều giá trị cùng là mốt => dãy số có nhiều mốt.
  • Nếu tất cả giá trị xuất hiện với cùng tần số => không có mốt rõ ràng.
  • Nếu có giá trị dị biệt (outlier) lớn nhỏ quá xa so với tập dữ liệu, trung bình cộng có thể lệch. Khi đó ưu tiên dùng trung vị/mốt.
  • Mối liên hệ: Các số đặc trưng này chính là các đại lượng cơ bản bước đầu của Thống kê Toán học.

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1. Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn số trung bình cộng với trung vị.
  • Hiểu sai vai trò của mốt (lấy giá trị xuất hiện duy nhất hoặc lấy sai giá trị).
  • Cách khắc phục: So sánh đặc điểm từng loại, ghi nhớ định nghĩa bằng ví dụ thực tế.

    • 5.2. Lỗi về tính toán

  • Tính nhầm tổng các giá trị hoặc tần số.
  • Quên chia đúng tổng số dữ liệu (NN).
  • Sai vị trí khi xác định trung vị (không sắp xếp số liệu/không cộng dồn tần số đúng).
  • Phương pháp tránh lỗi: Thực hiện từng bước, kiểm tra lại phép tính, dùng máy tính cầm tay, đối chiếu kết quả.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay với 42.666+ bài tập Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

    Hãy truy cập ngay để làm 42.666+ bài tập Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm hoàn toàn miễn phí. Không cần đăng ký, luyện tập mọi lúc, theo dõi tiến độ học và cải thiện kỹ năng thống kê nhanh chóng!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Ghi nhớ định nghĩa và công thức Số trung bình cộng, Trung vị và Mốt.
  • Chọn số đặc trưng phù hợp với dữ liệu.
  • Kiểm tra kỹ thứ tự, tần số khi tính toán.
  • Ôn tập bằng luyện đề và làm nhiều bài dạng khác nhau.

    • Checklist trước khi làm bài:
    - Đã nắm cách tính từng số đặc trưng?
    - Đã sắp xếp số liệu/ghi đúng tần số?
    - Đã luyện tập trên nhiều bảng phân phối số liệu?
    Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày làm ít nhất 5-10 bài luyện tập Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm miễn phí, củng cố kiến thức và kiểm tra tiến độ sau mỗi tuần.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".