Cách giải bài toán Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập – Chiến lược và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán xác suất của hai biến cố độc lập

Bài toán liên quan đến công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một chủ đề nền tảng quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc hiểu và giải tốt những dạng bài này sẽ giúp học sinh không chỉ vận dụng được kiến thức về xác suất mà còn phát triển tư duy logic và chuẩn bị tốt cho các bài toán xác suất khó hơn ở các cấp học sau.

2. Đặc điểm của bài toán về công thức nhân xác suất

• Liên quan đến tính xác suất đồng thời xảy ra (cùng lúc) của hai biến cố.
• Đặt vấn đề về tính độc lập của hai biến cố.
• Thường yêu cầu xác định xác suất của biến cố chung:$P(A ext{và} B)$.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán công thức nhân xác suất

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các biến cố và điều kiện xác suất.
2. Kiểm tra tính độc lập của các biến cố (hỏi hoặc cho sẵn).
3. Tìm xác suất của từng biến cố thành phần.
4. Áp dụng công thức nhân xác suất nếu các biến cố độc lập.
5. Kiểm tra lại kết quả, đặc biệt ở bước định nghĩa và phân tích biến cố.

4. Các bước giải bài toán với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, sau đó hoàn lại. Tiếp tục lấy ngẫu nhiên thêm một viên bi nữa. Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được bi đỏ.

1. Bước 1: Gọi$A$là biến cố "lần 1 lấy được bi đỏ",$B$là biến cố "lần 2 lấy được bi đỏ".
2. Bước 2: Vì lấy hoàn lại nên$A$và $B$ độc lập.
3. Bước 3: Xác suất mỗi lần lấy được bi đỏ:$P(A) = P(B) = \frac{4}{10} = 0{,}4$
   
4. Bước 4: Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:
   $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$
   
5. Bước 5: Kết luận: Xác suất để cả hai lần đều lấy được bi đỏ là $0{,}16$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:
  
  $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
  
• Nếu có nhiều hơn hai biến cố độc lập$A_1, A_2,..., A_n$thì:
  
  $P(A_1 \cap A_2 \cap... \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times... \times P(A_n)$
  
• Hai biến cố $A$,$B$ độc lập khi:
  
  $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
  

6. Các biến thể phổ biến và cách điều chỉnh chiến lược

Ngoài dạng cơ bản như trên, bài toán còn có các biến thể sau:

• Lấy không hoàn lại: Hai biến cố không còn độc lập, không dùng công thức nhân xác suất.
• Có nhiều hơn hai lần chọn: Áp dụng công thức nhiều biến cố độc lập.
• Tính xác suất ít nhất một lần xuất hiện biến cố:
  - Dùng bổ sung:$P(ext{ít nhất 1 lần}) = 1 - P(ext{không lần nào})$.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài toán: Tung một đồng xu và một con xúc xắc. Tìm xác suất để đồng xu ra mặt sấp và xúc xắc ra số chẵn.

1. Bước 1: Gọi$A$là biến cố "đồng xu ra mặt sấp";$B$là biến cố "xúc xắc ra số chẵn".
2. Bước 2: Hai phép thử độc lập nhau.
3. Bước 3:$P(A) = 1/2$;$P(B) = 3/6 = 1/2$.
4. Bước 4:$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/2 \times 1/2 = 1/4$.
5. Bước 5: Kết luận:$P(A \cap B) = 1/4$.

8. Bài tập thực hành

1. Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi, hoàn lại; lấy tiếp 1 viên nữa. Tính xác suất lấy được cả hai lần bi trắng.
2. Một người tung 3 đồng xu đồng thời. Tính xác suất cả 3 đồng xu đều ra mặt ngửa.
3. Từ bộ bài 52 lá, rút liên tiếp 2 lá có hoàn lại. Tính xác suất cả hai lần đều là lá cơ.

(Học sinh tự giải, kiểm tra bằng cách đối chiếu lời giải mẫu dưới đây.)

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra kỹ điều kiện bài toán (lấy hoàn lại, tung độc lập, v.v.) để đảm bảo biến cố là độc lập.
• Nếu không phải độc lập, phải dùng xác suất có điều kiện thay vì công thức nhân xác suất.
• Khi đề bài hỏi nhiều biến cố cùng xảy ra, cần xác định rõ tính độc lập từng cặp biến cố.
• Thường xuyên thực hành nhiều dạng khác nhau để thành thạo cách giải bài toán Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
• Viết kỹ từng bước, đặc biệt với giải thích lý do áp dụng công thức nhân xác suất.