Blog

Lớp 11

Cách giải bài toán hàm số logarit: Chiến lược cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

Hướng dẫn chiến lược giải quyết bài toán Hàm số logarit cho học sinh lớp 11

Bài toán hàm số logarit là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững cách giải không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong kiểm tra định kỳ mà còn là nền tảng vững chắc cho các bài toán nâng cao ở lớp 12 và trong ôn thi THPT Quốc gia.

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Hàm số logarit xuất hiện trong nhiều dạng bài, từ tính giá trị, giải phương trình, bất phương trình đến khảo sát và đồ thị. Bạn cần hiểu sâu về tính chất logarit để vận dụng linh hoạt trong mọi tình huống.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

  • Định nghĩa cơ bản:f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xvớia>0,a<br>eq1a>0,a<br>eq1.
  • Vùng xác định:x>0x>0.
  • Đạo hàm:f′(x)=1xln⁡af'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}.
  • Tính đơn điệu: tăng khia>1a>1, giảm khi0<a<10<a<1.
  • Chuyển đổi cơ bản:log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

    Để giải quyết nhanh và chính xác các bài toán về hàm số logarit, học sinh nên tuân theo quy trình sau:

  • Bước 1: Xác định vùng xác định của biểu thức logarit.
  • Bước 2: Biến đổi logarit về cùng cơ số hoặc về ln để so sánh và giải phương trình/bất phương trình.
  • Bước 3: Áp dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình hoặc khảo sát dấu của biểu thức logarit.
  • Bước 4: Với khảo sát đồ thị, sử dụng đạo hàm và tính chất đối xứng/nối tiếp để vẽ nhanh.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ: Giải phương trìnhlog⁡2(3x−1)=log⁡4(x+5)+1.\log_2(3x-1)=\log_4(x+5)+1.

    Bước 1: Điều kiện xác định:3x−1>0⇒x>133x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{3},x+5>0⇒x>−5x+5>0 \Rightarrow x>-5. Kết hợp:x>13x>\tfrac{1}{3}.

    Bước 2: Biến đổi cơ số:log⁡4(x+5)=log⁡2(x+5)log⁡24=log⁡2(x+5)2.\log_4(x+5)=\frac{\log_2(x+5)}{\log_2 4}=\frac{\log_2(x+5)}{2}.Thay vào:log⁡2(3x−1)=log⁡2(x+5)2+1.\log_2(3x-1)=\frac{\log_2(x+5)}{2}+1.

    Bước 3: Nhân hai vế với 2:2log⁡2(3x−1)=log⁡2(x+5)+2.2\log_2(3x-1)=\log_2(x+5)+2.

    Bước 4: Sử dụng tính chất:2log⁡2(3x−1)=log⁡2[(3x−1)2]2\log_2(3x-1)=\log_2[(3x-1)^2]. Ta có:log⁡2[(3x−1)2]=log⁡2(x+5)+2.\log_2[(3x-1)^2]=\log_2(x+5)+2.

    Bước 5: Đưa mọi thứ về cùng logarit:log⁡2[(3x−1)2]−log⁡2(x+5)=2⇒ log⁡2(3x−1)2x+5=2.\log_2[(3x-1)^2]-\log_2(x+5)=2 \Rightarrow \ \log_2\frac{(3x-1)^2}{x+5}=2.

    Bước 6: Đổi logarit sang biểu thức mũ:(3x−1)2x+5=22=4.\frac{(3x-1)^2}{x+5}=2^2=4.Giải phương trình:(3x−1)2=4(x+5)⇒9x2−6x+1=4x+20(3x-1)^2=4(x+5) \Rightarrow 9x^2-6x+1=4x+20 \Rightarrow 9x^2-10x-19=0.$

    Bước 7: Giải phương trình bậc hai: x=10±100+68418=10±78418=10±2818.x=\frac{10 \pm \sqrt{100+684}}{18}=\frac{10 \pm \sqrt{784}}{18}=\frac{10 \pm 28}{18}.Ta có hai nghiệm:x=3818>13x=\tfrac{38}{18}>\tfrac{1}{3}và x=−1818=−1x=-\tfrac{18}{18}=-1(loại vì x>13x>\tfrac{1}{3}). Vậy nghiệm duy nhất là x=199x=\tfrac{19}{9}.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Chuyển đổi cơ số:log⁡ab=ln⁡bln⁡a.\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.
  • Nhóm logarit:log⁡aM−log⁡aN=log⁡aMN, log⁡aM+log⁡aN=log⁡a(MN).\log_a M-\log_a N=\log_a\frac{M}{N},\ \log_a M+\log_a N=\log_a(MN).
  • Đổi logarit sang mũ:log⁡aM=k ⇔\ak=M.\log_a M=k\ \Leftrightarrow\a^k=M.
  • Tính đạo hàm:f′(x)=1xln⁡af'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Phương trình tích hợp nhiều logarit khác cơ số: cần chuyển về cùng cơ số rồi cộng trừ.
  • Bất phương trình logarit: dùng tính đơn điệu của hàmlog⁡ax\log_a x để xét dấu sau khi đưa về dạng cơ bản.
  • Khảo sát đồ thị: kết hợp đạo hàm và tính chất giới hạnlim⁡x→0+log⁡ax=−∞\lim_{x\to0^+}\log_a x=-\inftyvà lim⁡x→+∞log⁡ax=+∞\lim_{x\to+\infty}\log_a x=+\infty(nếua>1a>1).

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập: Giải bất phương trìnhlog⁡12(2x+1)>1−log⁡12(x−1).\log_{\frac{1}{2}}(2x+1)>1-\log_{\frac{1}{2}}(x-1).

    Lời giải tóm tắt:

  • Xác định điều kiện:2x+1>0⇒x>−122x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac12,x−1>0⇒x>1x-1>0 \Rightarrow x>1. Kết luậnx>1x>1.
  • Đổi cơ số:log⁡12u=ln⁡uln⁡(1/2)=−ln⁡uln⁡2\log_{\frac12}u=\dfrac{\ln u}{\ln(1/2)}=-\dfrac{\ln u}{\ln2}.
  • Phương trình trở thành:−ln⁡(2x+1)ln⁡2>1+ln⁡(x−1)ln⁡2.-\frac{\ln(2x+1)}{\ln2}>1+\frac{\ln(x-1)}{\ln2}.
  • Nhânln⁡2>0\ln2>0và đổi dấu vì hệ số âm:−ln⁡(2x+1)>ln⁡2+ln⁡(x−1)⇒ln⁡(2x+1)<−ln⁡2−ln⁡(x−1).-\ln(2x+1)>\ln2+\ln(x-1) \Rightarrow \ln(2x+1)<-\ln2-\ln(x-1).
  • Dùng logarit:ln⁡(2x+1)<ln⁡12(x−1)⇒2x+1<12(x−1).\ln(2x+1)<\ln\frac{1}{2(x-1)} \Rightarrow 2x+1<\frac{1}{2(x-1)}.
  • Giải bất phương trình hữu tỉ, kết quả:1<x<1.51<x<1.5.

    • 8. Bài tập thực hành

  • Giải phương trình:log⁡3(x2−4)=2log⁡3(x−2)+1.\log_3(x^2-4)=2\log_3(x-2)+1.
  • Giải bất phương trình:log⁡5(2x−3)≤log⁡5(x+1)−log⁡5(3x−2).\log_5(2x-3)\le\log_5(x+1)-\log_5(3x-2).
  • Khảo sát và vẽ đồ thị:y=log⁡0.5(x2+1)−log⁡0.52y=\log_{0.5}(x^2+1)-\log_{0.5}2.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi và giải phương trình/bất phương trình.
  • Chú ý dấu củaln⁡a\ln akhi đổi cơ số: nếu0<a<10<a<1, dấu bất phương trình sẽ đổi chiều.
  • Không bỏ qua bước nhân hay chia cả hai vế với biểu thức chứa ẩn, phải xét dấu biểu thức đó.
  • Khi khảo sát đồ thị, dùng tính đối xứng qua đường y khi cần thiết để vẽ nhanh.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Giải phương trình mũ: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".