1. Giới thiệu về loại bài toán Hàm số logarit và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm số logarit không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về tính chất hàm số mà còn hỗ trợ trong việc giải các bài toán về phương trình, bất phương trình và ứng dụng trong thực tế. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá chiến lược tổng thể, các bước giải quyết chi tiết, công thức cơ bản, biến thể bài toán, ví dụ minh họa, bài tập mẫu và mẹo tránh sai lầm khi giải bài toán hàm số logarit.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Hàm số logarit

Trước khi bắt tay vào giải bài toán, ta cần nhận diện các đặc điểm cơ bản của hàm số logarit:

- Hàm số logarit có dạng chung$y=\log_a x$với$a>0$,$a<br>eq1$và $x>0$.

- Định nghĩa:$\log_a x$là số mũ cần thiết để nâng cơ số $a$lên được$x$, nghĩa là nếu$y=\log_a x$thì $a^y=x$.

- Đồ thị hàm số logarit: tăng khi$a>1$, giảm khi$0<a<1$; có tiệm cận đứng là $x=0$.

- Tập xác định:$\mathcal D=\{x \in \mathbb R\mid x>0\}$; Tập giá trị:$\mathbb R$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một chiến lược chung khi giải các bài toán hàm số logarit bao gồm các bước sau:

- Bước 1: Xác định miền xác định của bài toán (đảm bảo biểu thức bên trong logarit dương).

- Bước 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm logarit để phân tích phương trình hoặc bất phương trình. Đối với$a>1$, hàm số tăng; với$0<a<1$, hàm số giảm.

- Bước 3: Chuyển đổi logarit cùng cơ số hoặc đổi cơ số cho phù hợp để rút gọn biểu thức.

- Bước 4: Đưa về phương trình/bất phương trình mũ cơ bản hoặc đa thức nếu có thể.

- Bước 5: Kiểm tra nghiệm để loại bỏ nghiệm không thỏa miền xác định.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Để minh họa chiến lược trên, hãy cùng giải ví dụ sau:

Ví dụ: Giải phương trình$\log_2(3x-1)=4$

Bước 1: Xác định điều kiện:$3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{3}$.

Bước 2: Chuyển sang dạng mũ:$2^4=3x-1$.

Bước 3: Tính toán:$16=3x-1 \Rightarrow 3x=17 \Rightarrow x=\tfrac{17}{3}$.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện:$x=\tfrac{17}{3}>\tfrac{1}{3}$, thỏa.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{17}{3}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Dưới đây là những công thức quan trọng trong cách giải bài toán hàm số logarit:

- Đổi cơ số:$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

- Tích, thương:$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\log_a\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)=\log_a x-\log_a y$

- Lũy thừa:$\log_a(x^k)=k\log_a x$

- Đơn điệu: hàm$\log_a x$tăng với$a>1$, giảm với$0<a<1$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Bài toán hàm số logarit có nhiều biến thể, ví dụ:

- Phương trình logarit có tổng nhiều log:$\log_a f(x)+\log_a g(x)=c$.

- Bất phương trình logarit:$\log_a f(x)>b$.

- Hàm hợp:$\log_{g(x)}f(x)=h(x)$.

- Kết hợp với phương trình mũ, đa thức.

Với mỗi biến thể, ta vẫn vận dụng chiến lược chung nhưng cần lưu ý:

- Điều kiện xác định:$f(x)>0$,$g(x)>0$,$g(x)<br>eq1$.

- Chọn phương pháp chuyển đổi phù hợp: đổi cơ số hay kết hợp tính chất logarit.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Giải phương trình$\log_3(x^2-4)=2-\log_3 2$

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện xác định:$x^2-4>0 \Rightarrow x>2$hoặc$x<-2$.

Bước 2: Đưa vế phải về dạng logarit cùng cơ số:$2=\log_3 3^2=\log_3 9$nên vế phải là $\log_3 9-\log_3 2=\log_3\tfrac{9}{2}$.

Vậy phương trình trở thành$\log_3(x^2-4)=\log_3\tfrac{9}{2}$.

Bước 3: So sánh bên trong:$x^2-4=\tfrac{9}{2} \Rightarrow x^2=\tfrac{9}{2}+4=\tfrac{17}{2}$.

Bước 4: Giải nghiệm: $x= \pm \sqrt{\tfrac{17}{2}}$.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện: $\sqrt{\tfrac{17}{2}}>2 thỏa;$-\sqrt{\tfrac{17}{2}}<-2$không thỏa. Vậy nghiệm duy nhất là x=\sqrt{\tfrac{17}{2}}$.

8. Bài tập thực hành

Để tự luyện, các em có thể thử các bài sau:

1. Giải phương trình$\log_2(4x+1)=3$.

2. Giải bất phương trình$\log_5(x-2)<2$.

3. Giải phương trình$\log_4(x^2-5x+6)=\log_4 2$.

4. Tìm tập xác định và khảo sát sự biến thiên hàm số $y=\log_{0.5}(x^2-1)$.

5. Giải phương trình hợp:$\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi.

- Chú ý dấu của cơ số logarit để xác định chiều biến thiên.

- Khi đổi cơ số, nhớ lấy log cùng cơ số hoặc cùng cơ số trung gian nhất quán.

- Với bất phương trình log, sau khi áp dụng tính đơn điệu, phải xét cả điều kiện xác định sạch.

- Cẩn thận với nghiệm âm hoặc nghiệm không thỏa điều kiện ban đầu.

- Rèn luyện qua nhiều bài tập để nâng cao kỹ năng vận dụng linh hoạt.