Cách giải bài toán Khảo sát hàm số logarit cho học sinh lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, khảo sát hàm số logarit là một trong các nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và ôn thi THPT Quốc gia. Việc thành thạo cách giải bài toán Khảo sát hàm số logarit giúp học sinh nắm chắc tính chất của hàm số logarit, phân tích đồ thị và vận dụng linh hoạt trong các bài toán thực tế.

1. Giới thiệu về bài toán Khảo sát hàm số logarit và tầm quan trọng

Bài toán khảo sát hàm số logarit giúp rèn luyện tư duy phân tích, xử lý điều kiện tập xác định và vận dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến, nghịch biến, cực trị và tiệm cận. Qua đó, học sinh nâng cao khả năng tổng hợp, liên kết kiến thức giữa giải tích và đại số.

Việc nắm vững cách giải bài toán Khảo sát hàm số logarit không chỉ giúp giải quyết tốt các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng để học các chương tiếp theo, như hàm số mũ, phương trình logarit và ứng dụng trong thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Bài toán khảo sát hàm số logarit có những đặc điểm chính sau:

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán khảo sát hàm số logarit

Để hệ thống hóa quá trình giải, các em nên tuân theo chiến lược tổng thể sau:

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát hàm số $f(x)=\log_2(x^2-3x+2)$.

Bước 1: Xác định tập xác định

Giải bất đẳng thức:

Vậy tập xác định là $D=(-\infty,1) \cup (2,+\infty)$.

Bước 2: Tính đạo hàm

Với$u(x)=x^2-3x+2$, ta có $f(x)=\log_2 u(x) \Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln2}.$

Do đó $f'(x)=\frac{2x-3}{(x^2-3x+2)\ln2}.$

Bước 3: Xét dấu đạo hàm trên tập xác định

Suy ra dấu của$f'(x)$phụ thuộc vào dấu của$2x-3$.

=>$f'(x)<0$với$x<\tfrac{3}{2}$và $f'(x)>0$với$x>\tfrac{3}{2}$. Kết hợp với tập xác định, hàm nghịch biến trên$(-\infty,1)$và đồng biến trên$(2,+\infty)$, có một điểm cực tiểu tại$x=\tfrac{3}{2}$nếu$\tfrac{3}{2} \in D$.

Bước 4: Khảo sát tiệm cận

Xét $x\to1^-$: $f(x)\to -\infty$. Tương tự với $x\to2^+$, $f(x)\to -\infty$. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\sim 2\log_2 x\to +\infty$. Không có tiệm cận xiên khác.

Bước 5: Vẽ đồ thị tổng quát dựa trên các kết quả tính đơn điệu, cực trị và tiệm cận.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Trong thực tế, đề bài có thể biến thể phức tạp với đa thức bậc cao, phân thức hoặc kết hợp hàm mũ. Cần linh hoạt xử lý từng trường hợp:

Biến thể 1: Hàm số logarit kết hợp đa thức bậc cao như $f(x)=\log(x^4-5x^2+4)$. Cách giải tương tự: xác định$x^4-5x^2+4>0$, tính đạo hàm và xét dấu.

Biến thể 2: Hàm số phân thức logarit:$f(x)=\log\bigl(\tfrac{x+1}{x-2}\bigr).$Lưu ý tập xác định:$x+1>0$và $x-2<br>eq0$, hoặc cả hai âm.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Khảo sát hàm số $f(x)=\log_3(x^2-4x+3).$

Lời giải:

• Xác định tập xác định:$x^2-4x+3>0 \Rightarrow (x-1)(x-3)>0 \Rightarrow x<1$hoặc$x>3$.

• Tính đạo hàm: Với$u=x^2-4x+3$,$f'(x)=\frac{2x-4}{(x^2-4x+3)\ln3}.$

• Xét dấu: Tử số $2x-4=0 \Rightarrow x=2$. Kết hợp D, hàm nghịch biến trên$(-\infty,1)$, đồng biến trên$(3,+\infty)$, cực tiểu tại$x=2$.

• Khảo sát tiệm cận: Xét tương tự các ví dụ trước.

8. Bài tập thực hành

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

Trên đây là cách giải bài toán Khảo sát hàm số logarit tổng thể cho học sinh lớp 11. Hy vọng các em áp dụng hiệu quả và luyện tập đều đặn để đạt kết quả cao. Chúc các em học tốt!