Cách giải bài toán khoảng cách giữa hai điểm, điểm và mặt phẳng

Trong chương trình Toán lớp 11, các bài toán về khoảng cách giữa hai điểm và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là nội dung trọng tâm, ứng dụng sâu rộng trong hình học không gian. Nắm vững cách giải bài toán này không chỉ giúp các em vượt qua kiểm tra, bài thi mà còn là tiền đề để tiến tới các kiến thức nâng cao về vector, phương trình mặt phẳng và ứng dụng trong thực tế như xác định khoảng cách ngắn nhất, khoảng cách an toàn trong kỹ thuật, xây dựng mô hình 3D…

1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Bài toán khoảng cách trong không gian thường gồm hai dạng chính:

• Khoảng cách giữa hai điểm$A$và $B$trong không gian 2D hoặc 3D.
• Khoảng cách từ điểm$P$ đến một mặt phẳng$\pi$cho trước.

Tầm quan trọng:

• Rèn luyện kỹ năng làm việc với tọa độ và vector.
• Hiểu sâu khái niệm hình chiếu vuông góc và khoảng cách ngắn nhất.
• Ứng dụng vào các bài toán thực tiễn trong kỹ thuật, đồ họa máy tính và vật lý.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Đặc điểm chung của các bài toán khoảng cách:

• Thường được giải quyết bằng tọa độ và vector.
• Công thức tổng quát dựa trên định nghĩa nền tảng: độ dài vector hiệu hoặc công thức hình chiếu vuông góc.
• Yêu cầu biến đổi đại số cẩn thận, ưu tiên xử lý giá trị tuyệt đối và khai căn.
• Khó nhất ở khâu xác định đúng công thức và tính toán chính xác.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Đọc kỹ đề bài, xác định rõ loại khoảng cách cần tính (giữa hai điểm hay từ điểm đến mặt phẳng).
• Viết tọa độ các điểm hoặc phương trình mặt phẳng dưới dạng chuẩn.
• Chọn công thức phù hợp:
• Thực hiện khai triển, biến đổi và tính toán chính xác.
• Kiểm tra lại bước giá trị tuyệt đối và kết quả cuối cùng.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai điểm

Cho$A(1,2,3)$và $B(4,0,5)$. Tính khoảng cách$AB$.

Bước 1: Ghi công thức:

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Bước 2: Thay tọa độ:

$AB=\sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}.$

Kết luận: $AB=\sqrt{17}$.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm$P(1,2,1)$và mặt phẳng$\pi:2x - y +2z -3=0$. Tính khoảng cách$d(P,\pi)$.

Bước 1: Ghi công thức:

$d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$

với$\pi:ax+by+cz+d=0$và $P(x_0,y_0,z_0)$.

Bước 2: Thay số:

$d(P,\pi)=\frac{|2 \cdot 1-1 \cdot 2+2 \cdot 1-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{|2-2+2-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|-1|}{3}=\frac{1}{3}.$

Kết luận: khoảng cách$d(P,\pi)=\tfrac{1}{3}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1,y_1,z_1)$và $B(x_2,y_2,z_2)$: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$
• Khoảng cách từ điểm $P(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$\pi:ax+by+cz+d=0$: $d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$
• Vector pháp tuyến của mặt phẳng là $\mathbf{n}=(a,b,c)$, dùng để tính độ dài hình chiếu song song.
• Thao tác biến đổi: khai căn, biến đổi giá trị tuyệt đối, rút gọn phân thức.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Dạng tọa độ 2D: bỏ thành phần$z$, công thức tương tự.
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: sử dụng công thức hình chiếu và tích hữu hướng.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: công thức tương tự điểm–mặt phẳng.
• Sử dụng hình chiếu vuông góc trong không gian để dựng tam giác vuông, áp dụng định lý Pythagore.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$A(-2,0,1)$,$B(1,3,-1)$. Tính khoảng cách$AB$.

Lời giải:

• Áp dụng $AB=\sqrt{(1+2)^2+(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}.$

Bài tập 2: Cho$Q(3,-1,2)$và mặt phẳng$\pi:x-2y+2z+4=0$. Tính$d(Q,\pi)$.

• $d(Q,\pi)=\frac{|3-2(-1)+2 \cdot 2+4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{|3+2+4+4|}{3}=\frac{13}{3}.$

8. Bài tập thực hành

• Cho$A(0,1,2)$và $B(2,3,5)$. Tính$AB$.
• Cho điểm$M(-1,2,0)$và mặt phẳng$2x+3y-6z+1=0$. Tính$d(M,\pi)$.
• Cho$P(1,1,1)$và mặt phẳng$x+y+z-3=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của$P$lên$\pi$.
• Cho$A(2,0,0)$,$B(0,2,0)$,$C(0,0,2)$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng qua$B, C$và điểm$D(1,1,1)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra dấu trong giá trị tuyệt đối khi thay số vào công thức.
• Đảm bảo viết phương trình mặt phẳng dưới dạng chuẩn$ax+by+cz+d=0$.
• Rút gọn $frac{| \cdot |}{\sqrt{ \cdot }}$ trước khi khai căn nếu có thể.
• Chú ý phân biệt khoảng cách 2D và 3D để không thừa hoặc thiếu thành phần.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách kiểm tra tính hợp lý (ví dụ khoảng cách không âm).