I. Giới thiệu về bài toán sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi

Trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt trong chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, các bài toán liên quan đến công thức cộng, trừ, nhân đôi (các công thức lượng giác biến đổi dạng tổng, hiệu, hay nhân đôi của góc) là nền tảng quan trọng giúp học sinh giải quyết hàng loạt bài tập từ đơn giản đến phức tạp và xây dựng tư duy biến đổi biểu thức lượng giác. Đây cũng là nền tảng để tiếp cận các bài toán lượng giác nâng cao, các đề thi kiểm tra, thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia.

II. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Bài toán sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi thường xuất hiện dưới các dạng chính:

• Biến đổi biểu thức lượng giác phức tạp về dạng đơn giản hơn
• Giải phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao
• Chứng minh các đẳng thức lượng giác
• Tính giá trị biểu thức lượng giác cho trước

Đặc trưng: Để giải bài toán loại này, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác, kết nối giữa các góc và áp dụng kỹ năng chia tách, nhóm hạng tử hoặc chuyển biểu thức sang dạng tích.

III. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để có thể giải chính xác và nhanh dạng bài toán này, bạn hãy tuân thủ các chiến lược sau:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định dạng toán (biến đổi, phương trình, chứng minh, tính giá trị,...).
2. Nhận diện các biểu thức mang cấu trúc của công thức cộng, trừ, nhân đôi.
3. Chọn công thức lượng giác phù hợp để áp dụng.
4. Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hoặc tìm ra nhân tố chung.
5. Rút gọn, kiểm tra điều kiện xác định để hoàn chỉnh lời giải.

IV. Các bước giải quyết chi tiết kèm ví dụ minh họa

Để minh họa cụ thể, ta xét từng bước sau kèm ví dụ chi tiết:

Bước 1: Xác định dạng toán và phương pháp giải

Giả sử đề bài yêu cầu rút gọn biểu thức:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức$A = \frac{\tan \frac{a}{2}}{1 - \tan^2 \frac{a}{2}}$.

Bước 2: Áp dụng công thức phù hợp

Nhận thấy biểu thức có dạng$\tan \frac{a}{2}$. Ta nhớ công thức lượng giác:

• Công thức nhân đôi:$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

Ở đây, đặt$x = \frac{a}{2}$thì $\tan a = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 - \tan^2 \frac{a}{2}}$.

Bước 3: Biến đổi và Rút gọn biểu thức

Vậy$A = \frac{1}{2} \tan a$

Bước 4: Kết luận, kiểm tra điều kiện

Điều kiện xác định:$1 - \tan^2 \frac{a}{2} \neq 0 \Leftrightarrow \tan \frac{a}{2} \neq \pm 1$.

V. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức cộng:
• $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
• $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
• $\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$
• Công thức nhân đôi:
• $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$
• $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
• $\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$
• Công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích:
• $\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) - \cos(a+b)]$
• $\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$
• $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

VI. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán yêu cầu rút gọn biểu thức: Tập trung nhóm các thành phần, áp dụng linh hoạt chuyển tổng thành tích, tích thành tổng theo hướng rút gọn tối ưu.
• Bài toán dạng phương trình lượng giác: Chuyển vế về cùng một dạng góc rồi áp dụng công thức cộng, trừ hoặc nhân đôi để giải.
• Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác: Lựa chọn vế phức tạp để biến đổi, chú ý nhận dạng để sử dụng công thức hợp lý.
• Bài toán tính giá trị: Thay số cụ thể, sử dụng công thức cộng, trừ cho các góc đặc biệt.

VII. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác $\sin 2x - \sin x = 0$trên đoạn$[0; 2\pi]$.

1. Sử dụng công thức nhân đôi: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
2. Vậy phương trình trở thành: $2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x (2\cos x - 1) = 0$.
3. Chia thành hai trường hợp:
4. + $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi$.
5. +$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
6. Kết luận nghiệm là:$x = 0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $B = \frac{1-\cos 2x}{\sin x}$.

1. Sử dụng công thức: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
2. Thay vào: $B = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{\sin x} = \frac{2\sin^2 x}{\sin x} = 2\sin x$.
3. Kết luận: $B = 2\sin x$với điều kiện$\sin x \neq 0$.

VIII. Bài tập thực hành

Học sinh tự luyện theo các hướng sau:

• 1. Rút gọn các biểu thức sau:
  a) $C = \sin a \cos a + \cos a \sin a$
  b) $D = \tan(a + b) + \tan(a - b)$
• 2. Giải các phương trình sau:
  a) $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$
  b) $\sin x + \sin 3x = 0$
• 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác:
  a) $\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
  b) $\cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$

IX. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Viết đúng công thức, kiểm tra dấu ±, ∓ vì một dấu sai dễ dẫn tới sai lầm toàn bộ bài.
• Ghi nhớ điều kiện xác định: Khi chia cho hàm lượng giác phải chắc chắn mẫu khác 0.
• Luyện tập nhận diện các biểu thức quen thuộc để lựa chọn hướng biến đổi hợp lý.
• Sử dụng giấy nháp để kiểm tra lại đáp án, đặc biệt với các phương trình lượng giác có nhiều nghiệm.