1. Giới thiệu về loại bài toán và tại sao nó quan trọng

Bài toán sử dụng công thức nhân xác suất là dạng cơ bản trong chương xác suất lớp 11. Việc nắm vững phương pháp này giúp học sinh giải quyết nhanh các bài tập liên quan đến xác suất của nhiều sự kiện xảy ra đồng thời hoặc liên tiếp. Đây cũng là nền tảng để học các phần nâng cao như xác suất có điều kiện và định lý Bayes.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Dạng bài này thường có các đặc điểm sau:

• Các sự kiện$A$,$B$có thể xảy ra nối tiếp hoặc đồng thời.
• Khi các sự kiện độc lập, ta áp dụng công thức nhân xác suất.
• Nhiều bài toán mở rộng cho$n$sự kiện độc lập.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải bài toán này hiệu quả, học sinh cần thực hiện các bước chính sau:

1. Xác định các sự kiện cần xét và mối quan hệ giữa chúng (độc lập hay không).
2. Nhớ công thức nhân:$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$nếu$A, B$ độc lập.
3. Mở rộng công thức cho nhiều sự kiện:$P\bigcap_{i=1}^n A_i=\prod_{i=1}^n P(A_i).$
4. Nếu không độc lập, chuyển sang xác suất có điều kiện.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định sự kiện$A$,$B$, … và cho biết độc lập hay không.
Bước 2: Ghi công thức tương ứng.
Bước 3: Thay giá trị và tính toán.
Bước 4: Kiểm tra kết quả có hợp lý với giới hạn$[0,1]$.

Ví dụ: Tung 2 đồng xu công bằng. Tính xác suất xuất hiện cả hai mặt “Đầu”.

Giải: Gọi$A$= “lần đầu ra Đầu”,$B$= “lần hai ra Đầu”.
Vì độc lập nên$P(A \cap B)=P(A)P(B)=\frac12 \times \frac12=\frac14.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức nhân cho 2 sự kiện độc lập:$P(A \cap B)=P(A)P(B).$
• Mở rộng cho$n$sự kiện độc lập:$P\bigcap_{i=1}^n A_i=\prod_{i=1}^n P(A_i).$
• Khi không độc lập, dùng:$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A).$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

– Sự kiện có điều kiện: gần giống nhưng thay$P(B)$bằng$P(B|A).$
– Rút không hoàn lại: tính xác suất có điều kiện liên tiếp.
– Nhiều biến cố: chia thành các nhóm độc lập hoặc áp dụng công thức phân tầng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Trong hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ.

Giải:
Bước 1: Gọi$A$= “lần 1 lấy được bi đỏ”,$B$= “lần 2 lấy được bi đỏ”.
Bước 2:$P(A)=\frac{3}{5}.$Sau khi lấy 1 bi đỏ, còn 2 đỏ và 2 xanh, nên$P(B|A)=\frac{2}{4}=\frac12.$
Bước 3:$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)=\frac{3}{5} \times \frac12=\frac{3}{10}.$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1) Tung 3 đồng xu, tính xác suất xuất hiện đúng 2 mặt Đầu.
2) Trong hộp có 5 bi trắng, 4 bi đen. Lấy 2 bi có hoàn lại, xác suất để 2 bi cùng màu.
3) Một lớp có 30 học sinh, chọn ngẫu nhiên 2 bạn, xác suất cả hai cùng đeo kính.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định rõ độc lập hay có điều kiện.
• Kiểm tra tổng xác suất của các biến cố phụ thuộc không vượt 1.
• Không quên cập nhật số lượng hoặc xác suất sau mỗi bước rút không hoàn lại.
• Viết rõ các bước tính để dễ kiểm tra lại.