1. Giới thiệu về bài toán tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Bài toán về tính chất hai mặt phẳng vuông góc là một chủ đề quan trọng trong chương VII – Quan hệ vuông góc trong không gian, sách Toán 11. Việc hiểu và vận dụng thành thạo kiến thức này sẽ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy không gian và sẵn sàng cho các kỳ thi lớn như thi THPT Quốc gia. Bài toán thường yêu cầu xác định, chứng minh hai mặt phẳng (mp) vuông góc, hoặc tìm yếu tố liên quan và áp dụng vào bài toán tổng hợp.

2. Đặc điểm của loại bài toán về hai mặt phẳng vuông góc

Đặc điểm nổi bật:

• Thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh hình học không gian lớp 11.
• Phải vận dụng khái niệm đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc giao tuyến…
• Một số trường hợp yêu cầu sử dụng các hệ quả, bổ đề liên quan.

3. Chiến lược tổng thể – Cách giải bài toán tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Để giải được dạng bài này, bạn nên tuân theo các bước chiến lược:

1. Phân tích đề bài: Nhận diện hai mặt phẳng, hình vẽ đi kèm, giao tuyến, các yếu tố giúp lập luận.
2. Nhớ lại định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc:
3. Tìm và xác định cặp đường thẳng vuông góc đặc trưng trong mỗi mặt phẳng.
4. Chứng minh vuông góc bằng cách sử dụng các định lý, đặc biệt là qua giao tuyến hoặc đường thẳng vuông góc.
5. Đưa ra kết luận phù hợp.

4. Các bước giải bài toán chi tiết và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong hình chóp$S.ABCD$có đáy là hình chữ nhật. Chứng minh rằng$(SAB)$vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABCD)$.

Bước 1: Phân tích hình vẽ, xác định$(SAB)$và $(ABCD)$. Lấy giao tuyến là $AB$.

Bước 2: Chọn đường thẳng $SA \subset (SAB)$và $BC \subset (ABCD)$với$SA \perp BC$vì $SA \perp\text{đáy} (ABCD)$.

Bước 3: Ta có $SA \perp BC$, $SA \subset (SAB)$, $BC \subset (ABCD)$nên$(SAB) \perp (ABCD)$.

Cách trình bày thường quy về "cách giải bài toán tính chất hai mặt phẳng vuông góc" là:

1. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng hoặc chọn hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt có vị trí giao nhau.
2. Tìm một đường thẳng thuộc một mặt phẳng, vuông góc với cả giao tuyến và một đường thẳng thuộc mặt còn lại.
3. Chứng minh vuông góc, thường dùng các tam giác vuông, tính góc giữa hai đường thẳng dựa trên định nghĩa.
4. Kết luận: Hai mặt phẳng vuông góc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$vuông góc khi có một đường thẳng$d \subset (P)$vuông góc với một đường thẳng$d' \subset (Q)$ đồng thời$d$và $d'$ cắt nhau.
• Các dấu hiệu nhận biết:

1. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
2. Chứng minh đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng kia và cùng đi qua điểm chung.

• Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng dựa vào tích vô hướng (ở bài nâng cao):
  Nếu$(P)$và $(Q)$có giao tuyến$d$, chọn hai vectơ pháp tuyến$\vec{n}_1, \vec{n}_2$:
  $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$
  Khi$\alpha = 90^\circ$thì hai mặt phẳng vuông góc.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

1. Không cho giao tuyến rõ ràng, học sinh phải xác định dựa vào điều kiện hình học.
2. Giao tuyến không vuông góc với đường đã biết, phải tìm thêm đường đặc trưng khác.
3. Yêu cầu chứng minh với điểm, đường thẳng hoặc các yếu tố phụ khác (xem xét đường cao, tam giác vuông…).

Chiến lược điều chỉnh:

• Luôn chủ động tìm các đường thẳng đặc biệt (như đường cao, trung tuyến, đường vuông góc chung, v.v.).
• Sử dụng kết hợp các định lý về đường thẳng vuông góc mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc khi không thể áp dụng trực tiếp.

7. Bài tập mẫu (có lời giải chi tiết theo từng bước)

Bài tập mẫu: Cho tứ diện$ABCD$có $AB \perp (BCD)$. Chứng minh rằng$(ABC) \perp (BCD)$.

Giải chi tiết:

1. Vẽ hình tứ diện$ABCD$, xác định$(ABC)$và $(BCD)$.
2. $AB \perp (BCD)$nên$AB \perp BD$,$AB \perp BC$,$AB \perp CD$.
3. Ta có $AB \subset (ABC)$và $BD \subset (BCD)$, mà $AB \perp BD$=> theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc:$(ABC)$\perp$(BCD)$.

8. Bài tập tự luyện

1. Trong hình chóp$S.ABCD$có đáy là hình vuông cạnh$a$,$SA \perp (ABCD)$. Chứng minh$(SAB) \perp (SBC)$.
2. Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh$(ABC)$\perp$(ABB'A')$.
3. Trong tứ diện đều$ABCD$, chứng minh$(ABC) \perp (ACD)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn có hình vẽ rõ ràng, ghi chú giao tuyến và các yếu tố đặc biệt.
• Không được nhầm lẫn giữa "vuông góc giữa các mặt phẳng" với "vuông góc giữa các đường thẳng".
• Khi áp dụng định lý phải kiểm tra kỹ các điều kiện và tính hợp lệ.
• Luôn ghi rõ đường thẳng/đặc điểm được chọn nằm trên mặt nào.