Chiến lược giải bài toán tính chất và công thức logarit lớp 11

Bài viết này hướng dẫn học sinh lớp 11 cách giải các bài toán liên quan đến tính chất và công thức logarit. Nội dung gồm giới thiệu, phân tích đặc điểm, chiến lược tổng thể, bước giải chi tiết kèm ví dụ, công thức cần nhớ, biến thể bài toán, bài tập mẫu và mẹo tránh sai lầm.

1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Logarit là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, xuất hiện trong phương trình, bất đẳng thức và các bài toán ứng dụng. Hiểu rõ tính chất và công thức logarit giúp học sinh giải nhanh, tránh nhầm lẫn khi chuyển đổi cơ số, đồng thời áp dụng linh hoạt vào các câu hỏi liên quan đến dãy số, đồ thị hàm số và bài toán thực tế.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Các bài toán về tính chất và công thức logarit thường yêu cầu:

- Xác định điều kiện xác định (điều kiện tồn tại logarit).
- Áp dụng công thức đổi cơ số và khai triển logarit.
- Biến đổi tương đương để đưa về dạng dễ giải.
- Kiểm tra nghiệm sau cùng để đảm bảo thỏa điều kiện ban đầu.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải nhanh các bài toán logarit, học sinh cần xây dựng một chiến lược tổng thể như sau:

- Nắm vững điều kiện xác định$\log_a b\,$với$a>0$,$a<br>eq1$,$b>0$.
- Ghi nhớ công thức cơ bản và công thức chuyển đổi cơ số.
- Phân tích biểu thức logarit: tách tích, thương, lũy thừa.
- Chuyển bài toán logarit về phương trình đa thức hoặc phương trình mũ khi cần.
- Luôn kiểm tra nghiệm thu được với điều kiện ban đầu.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định điều kiện xác định.
Bước 2: Phân tích và biến đổi sử dụng tính chất logarit để tách thành các biểu thức đơn giản.
Bước 3: Áp dụng công thức chuyển đổi hoặc khử logarit bằng hàm mũ.
Bước 4: Giải phương trình thu được và kiểm tra nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Giải phương trình$\log_2\bigl(x^2-3x+2\bigr)=1.$

• Điều kiện xác định:$x^2-3x+2>0\Longrightarrow(x-1)(x-2)>0\Longrightarrow x<1$hoặc$x>2$.
• Chuyển sang phương trình mũ:$x^2-3x+2=2^1=2$.
• Giải phương trình:$x^2-3x+2-2=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0$hoặc$x=3$.
• Kiểm tra điều kiện: với$x=0$, argument log=2>0 và $0<1$nên thỏa; với$x=3$,$3>2$thỏa. Vậy nghiệm là $x=0,3$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Định nghĩa:$\log_a b = x\Longleftrightarrow a^x=b$.
- Tính chất tích:$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$.
- Tính chất thương:$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$.
- Tính chất lũy thừa:$\log_a M^k=k\,\log_a M$.
- Đổi cơ số:$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể phổ biến:
- Phương trình logarit chứa nhiều cơ số khác nhau.
- Bất phương trình logarit.
- Bài toán logarit kết hợp với căn thức hoặc đa thức.
- Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức logarit.

Đối với mỗi biến thể, cần thích ứng:
- Khi có nhiều cơ số, dùng công thức đổi cơ số để thống nhất.
- Với bất phương trình, chú ý chiều của bất đẳng thức khi nhân chia bởi số âm và tính chất hàm logarit (đồng biến hoặc nghịch biến).
- Với căn thức, giải điều kiện tồn tại cả logarit và căn, sau đó biến đổi tương ứng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Ví dụ 1: Giải phương trình$\log_3(2x+1)+\log_3(x-2)=2.$

• Điều kiện: $2x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac12$, $x-2>0 \Rightarrow x>2$. Kết hợp: $x>2$.
• Dùng tính chất tích: $\log_3[(2x+1)(x-2)]=2$.
• Chuyển sang mũ: $(2x+1)(x-2)=3^2=9$.
• Giải phương trình: $2x^2-3x-2=9 \Rightarrow 2x^2-3x-11=0$.
• Nghiệm: $x=\frac{3 \pm \sqrt{9+88}}{4}=\frac{3 \pm \sqrt{97}}{4}$.
• Chọn nghiệm phù hợp: $x=\frac{3+\sqrt{97}}{4}$.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình$\log_{\tfrac12}(x^2-4x+3)<1.$

• Điều kiện:$x^2-4x+3>0 \Rightarrow (x-1)(x-3)>0 \Rightarrow x<1$hoặc$x>3$.
• Vì cơ số $\tfrac12<1$, hàm logarit nghịch biến → đổi chiều:$x^2-4x+3>\tfrac12$.
• Giải:$x^2-4x+\tfrac52>0$luôn đúng do đồ thị parabola hướng lên và có $<br />Delta<0$.
• Kết hợp điều kiện ban đầu: nghiệm là $x<1$hoặc$x>3$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Giải phương trình$\log_4(x^2-5x+6)=2$.
2. Giải bất phương trình$\log_5(3x+2)\ge1$.
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức$\log_2x+\log_2(4-x)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi.
- Chú ý chiều của bất phương trình logarit khi cơ số $0<a<1$.
- Khi chuyển logarit sang hàm mũ, không bỏ sót nghiệm.
- Sử dụng đúng công thức đổi cơ số để tránh nhầm dấu.
- Trình bày rõ từng bước, viết gọn công thức.

Hy vọng bài viết giúp các em hệ thống hóa chiến lược và tự tin giải các bài toán tính chất và công thức logarit.