Blog

Lớp 11

Cách giải bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ – Hướng dẫn cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

Cách giải bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ – Hướng dẫn cho học sinh lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, phần hình học không gian về khối chóp và khối lăng trụ chiếm vị trí quan trọng. Việc nắm vững chiến lược giải nhanh và chính xác giúp học sinh tự tin khi học tập, ôn thi giữa kỳ, cuối kỳ hay thi THPT Quốc gia.

1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Bài toán tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ thường xuất hiện trong đề kiểm tra định kỳ và đề thi THPT Quốc gia. Đây là dạng toán hình học không gian cơ bản nhưng đòi hỏi học sinh phải nhớ công thức, hiểu cách chiếu vuông góc và biến đổi hình học. Khả năng giải quyết thành thạo giúp:

  • Ôn luyện kiến thức nền tảng hình học không gian.
  • Phát triển tư duy trực quan và tính logic.
  • Tích lũy kỹ năng làm bài thi nhanh, chính xác.

    • 2. Phân tích đặc điểm của bài toán

    Dạng toán này có những đặc điểm chính sau:

  • Khối chóp xác định bởi đỉnh và đa giác đáy.
  • Khối lăng trụ có hai mặt đáy song song và bằng nhau.
  • Cần xác định chiều cao (khoảng cách giữa đáy và đỉnh/mặt đối diện) và diện tích đáy.
  • Phép chiếu vuông góc, giao điểm, độ dài đoạn thẳng thường xuyên được sử dụng.

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

    Để giải quyết nhanh và chính xác, học sinh nên tuân theo quy trình sau:

  • Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định dạng khối (chóp hay lăng trụ).
  • Bước 2: Vẽ hình chính xác, gạch chú thích các điểm, đoạn thẳng quan trọng, vuông góc.
  • Bước 3: Xác định diện tích đáySđaˊyS_{đáy}và chiều caohhcần tính.
  • Bước 4: Áp dụng công thức thể tích phù hợp và tính toán.
  • Bước 5: Kiểm tra kết quả: đơn vị, dấu, hợp lý về mặt hình học.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho khối chópS.ABCDS.ABCDcó đáyABCDABCDlà hình vuông cạnhaavà SASAvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp.

  • Bước 1: Xác định đáy và đỉnh: đáyABCDABCD, độ dài cạnhaa.
  • Bước 2: Vẽ hình, chú thíchSA⊥(ABCD)SA \perp (ABCD). Chiều caoh=SAh = SA.
  • Bước 3: Diện tích đáySđaˊy=a2S_{đáy} = a^2.
  • Bước 4: Áp dụng công thức:V=13Sđaˊy×h=13a2×SA.V = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h = \frac{1}{3} a^2 \times SA.
  • VậyV=a2⋅SA3V = \frac{a^2 \cdot SA}{3}.

    • Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ đứngABC.A′B′C′ABC.A'B'C'có đáyABCABClà tam giác vuông tạiBB,AB=3AB = 3,BC=4BC = 4, chiều cao lăng trụ h=5h = 5. Tính thể tích.

  • TínhSđaˊy=12AB×BC=12×3×4=6S_{đáy} = \frac{1}{2} AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6.
  • Áp dụng công thức khối lăng trụ:V=Sđaˊy×h=6×5=30.V = S_{đáy} \times h = 6 \times 5 = 30.

    • Kết luận: Thể tích bằng3030.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Thể tích khối chóp:Vchoˊp=13Sđaˊy×h.V_{chóp} = \frac{1}{3} S_{đáy} \times h.
  • Thể tích khối lăng trụ:Vla˘ng trụ=Sđaˊy×h.V_{lăng\,trụ} = S_{đáy} \times h.
  • Diện tích tam giác: S=12absin⁡C.S = \frac{1}{2} ab \sin C.
  • Công thức Heron: S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2.S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}.
  • Chiếu vuông góc: xác định khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    - Đáy là đa giác không đều: chia thành tam giác, tínhSđaˊyS_{đáy}bằng tổng diện tích tam giác nhỏ.
    - Chiều cao không cho trực tiếp: sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua tích có hướng hoặc hệ tọa độ.
    - Khối ngũ giác, lục giác: áp dụng công thức tổng quát và chia miền.
    - Bài toán biến đổi hình: cắt, ghép khối chóp/lăng trụ để so sánh thể tích.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập mẫu 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD, AB=2aAB=2a, mặt bên tạo với đáy góc α=60∘\alpha=60^\circvà SA=a3SA= a\sqrt{3}. Tính thể tích.

  • Diện tích đáy:ABCDABCDlà hình vuông cạnh2a2a, nênSđaˊy=(2a)2=4a2S_{đáy} = (2a)^2 = 4a^2.
  • Chiều cao h=SAsin⁡60∘=a3×32=3a2h = SA \sin 60^\circ = a\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2}.
  • Thể tích:V=13×4a2×3a2=2a2×3a2=3a3.V = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times \frac{3a}{2} = 2a^2 \times \frac{3a}{2} = 3a^3.

    • Kết quả:V=3a3V = 3a^3.

    Bài tập mẫu 2: Cho khối lăng trụ tam giácABC.A′B′C′ABC.A'B'C', tam giácABCABCcó các cạnh3,4,53,4,5, và AA′=6AA'=6. Tính thể tích.

  • Tam giác vuông,Sđaˊy=12×3×4=6S_{đáy}=\frac{1}{2} \times 3 \times 4 =6.
  • Chiều cao lăng trụ h=AA′=6h=AA'=6.
  • V=6×6=36.V=6 \times 6=36.

    • 8. Bài tập thực hành

  • Cho khối chópM.NPQRM.NPQRcó đáyNPQRNPQRlà hình chữ nhật3×43 \times 4và MN⊥(NPQR)MN\perp (NPQR),MN=5MN=5. Tính thể tích.
  • Cho khối lăng trụ XYZ.X′Y′Z′XYZ.X'Y'Z'có tam giácXYZXYZ đều cạnhaa, chiều cao lăng trụ hh. Tính thể tích.
  • Cho khối chóp tam giácA.BCDA.BCDvới tam giácBCDBCDcó diện tích88, điểmAAnằm cách mặt phẳngBCDBCD đoạnh=6h=6. TínhVV.
  • Cho khối lăng trụ tam giác có đáyABCABClà tam giác cânAB=AC=5AB=AC=5,BC=6BC=6, chiều caoh=4h=4. Tính thể tích.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn vẽ hình và gạch vuông góc, chú thích các góc, đoạn vuông góc.
  • Kiểm tra đơn vị đo: nếu đề không cho, mặc định đơn vị cùng hệ.
  • Nếu không cho chiều cao trực tiếp, sử dụng công thức khoảng cách điểm – mặt phẳng.
  • Chia đáy thành tam giác nhỏ khi đáy là đa giác phức tạp.
  • Đọc kỹ đề: phân biệt rõ chóp đều, chóp cụt, lăng trụ đứng hoặc xiên.

    • Hy vọng bài viết giúp các em nắm vững cách giải bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. Chúc các em học tập thật tốt và đạt kết quả cao!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".