1. Giới thiệu về dạng toán xác định khoảng cách và thể tích trong không gian thực tế

Bài toán xác định khoảng cách và thể tích trong không gian thực tế là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Chủ đề này trang bị cho học sinh tư duy không gian và kỹ năng giải quyết các bài toán gắn liền với thực tiễn, giúp hiểu sâu hơn các cấu trúc hình học đồng thời có khả năng vận dụng vào các ngành kỹ thuật, xây dựng, kiến trúc…

Khoảng cách có thể là khoảng cách giữa hai điểm, một điểm và một mặt phẳng, hoặc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng trong không gian. Thể tích là lượng không gian mà một hình khối chiếm chỗ, áp dụng cho các hình như lăng trụ, hình chóp, hình hộp chữ nhật… Nhận thức và ứng dụng tốt dạng toán này giúp học sinh dễ dàng hơn khi bước sang các chủ đề phức tạp hơn trong các kỳ thi THPT cũng như các lĩnh vực ngoài thực tiễn.

2. Đặc điểm của dạng toán xác định khoảng cách và thể tích

• Dữ liệu thường là tọa độ các điểm, phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz.
• Yêu cầu xác định chính xác đối tượng (điểm, đường, mặt, hình khối) và mối quan hệ giữa chúng.
• Cần vẽ hình hoặc hình dung không gian rõ ràng, xác định vector đặc trưng quan trọng.
• Thường sử dụng công thức tính khoảng cách, diện tích, thể tích dựa trên vector, tích có hướng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Vẽ hình, mô tả hình học không gian dựa theo đề và nhận dạng đối tượng liên quan.
• Bước 2: Thiết lập hệ trục tọa độ sao cho thuận lợi (nếu đề yêu cầu).
• Bước 3: Xác định rõ đại lượng cần tính (khoảng cách, thể tích) và phân tích các dữ kiện.
• Bước 4: Áp dụng công thức toán học phù hợp và giải quyết lần lượt từng phần.
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và thử các trường hợp đặc biệt (nếu có).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- Cho điểm$A(1, 2, 3)$và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 5 = 0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng$(P)$?

• Bước 1: Xác định tọa độ điểm và phương trình mặt phẳng.
• Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$Ax + By + Cz + D = 0$:
  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Bước 3: Thay số: $d = \frac{|2.1 - 1.2 + 2.3 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 5|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Tính thể tích hình chóp trong không gian

- Cho hình chóp$S.ABC$với$A(0,0,0)$,$B(1,0,0)$,$C(0,2,0)$,$S(0,0,3)$. Tính thể tích khối chóp$S.ABC$.

• Bước 1: Tính diện tích đáy$\triangle ABC$trong mặt phẳng$z=0$
  -$\vec{AB} = (1,0,0)$,$\vec{AC} = (0,2,0)$
  - Sử dụng công thức tích có hướng hai vector để tính diện tích:
  $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |2| = 1$
• Bước 2: Tính chiều cao từ $S$đến mặt phẳng đáy là khoảng cách từ$S$ đến$z=0$, tức$h = 3$
• Bước 3: Áp dụng công thức thể tích chóp:$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times 1 \times 3 = 1$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$:
  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$và $B(x_2, y_2, z_2)$:
  $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
  $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}$
  Trong đó $\vec{u}_1, \vec{u}_2$là vectơ chỉ phương.
• Thể tích hình chóp:
  
  V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \times h
  
  Thể tích lăng trụ:
  
  $$V = S_{\text{đáy}} \times h$$
• Tính diện tích tam giác với 3 điểm$A,B,C$:
  $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Thường dựng hình chiếu vuông góc hoặc dùng tích có hướng.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng$P_1$ đến$P_2$.
• Thể tích hình hộp: Áp dụng tích vô hướng và tích có hướng của ba vector đặc trưng.
• Khi gặp hình không đồng phẳng, cần xác định chính xác các vector chỉ phương, vector pháp tuyến.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Cho 2 điểm$A(2, 0, 1)$và $B(0, 1, 2)$, mặt phẳng$(Q): x + 2y - 2z + 3 = 0$. Hãy tính khoảng cách từ trung điểm$I$của$AB$ đến mặt phẳng$(Q)$.

• Tìm tọa độ trung điểm$I$:
  $\displaystyle I = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+2}{2} \right) = (1, 0.5, 1.5)$
• Áp dụng công thức khoảng cách:
  $A = 1, B = 2, C = -2, D = 3$
  $d = \frac{|1.1 + 2.0.5 -2.1.5+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac{|1+1-3+3|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{2}{3}$

Đáp số:$\boxed{\dfrac{2}{3}}$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho các điểm$A(1, 2, 1)$,$B(3, 1, 4)$. Tính độ dài đoạn$AB$.
2. Tìm khoảng cách từ điểm$M(0,1,-1)$ đến mặt phẳng$(S): 2x - 3y + 6z + 12 = 0$.
3. Cho$A(0,0,0)$,$B(2,0,0)$,$C(0,3,0)$,$S(0,0,6)$. Tính thể tích hình chóp$S.ABC$.
4. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
   
   $$\begin{cases} d_1: x = 1 + t,\y = 2 - t,\z = 3 + 2t \d_2: x = 2 + 2s,\y = -1 + s,\z = 1 + 3s \, (t,s \in \mathbb{R}) \\\end{cases}$$
5. Cho hình hộp có ba cạnh xuất phát từ $O(0,0,0)$,$OA=(2,0,0)$,$OB=(0,3,0)$,$OC=(0,0,4)$. Tính thể tích hình hộp.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán xác định khoảng cách và thể tích

• Vẽ hình rõ ràng, ghi chú tọa độ các điểm giúp hình dung không gian thuận lợi hơn.
• Chú ý kiểm tra lại dấu trong công thức vector, kiểm tra độ lớn của tích có hướng.
• Xác định chiều cao, diện tích đáy đúng phương pháp khi tính thể tích chóp/lăng trụ.
• Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay ngược vào đề bài hoặc ước lượng kết quả xem hợp lý không.
• Sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính toán tránh sai số số học.