Cách giải bài toán phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng

Cách giải bài toán phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng – Chiến lược từng bước cho học sinh lớp 11 (cách giải bài toán phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng)

Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán về phép chiếu vuông góc của điểm và đoạn thẳng lên mặt phẳng theo một chiến lược rõ ràng, từng bước. Bạn sẽ nắm vững lý thuyết, phương pháp, các công thức thường dùng và làm quen với nhiều ví dụ minh họa thực tế.

1. Giới thiệu về loại bài toán

Phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng là dạng bài quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Nó xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế như xác định khoảng cách từ điểm đến phẳng, tính diện tích hình chiếu, tính độ dài hình chiếu của đoạn thẳng… Việc thành thạo phép chiếu vuông góc giúp bạn giải tốt bài tập không gian, tạo nền tảng cho các phần nâng cao về hình học không gian.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

– Bài toán thường cho:

• Một điểm$A(x_0,y_0,z_0)$hoặc đoạn thẳng$AB$trong không gian.

• Phương trình mặt phẳng$\pi:Ax+By+Cz+D=0$.

– Yêu cầu:

• Tìm hình chiếu vuông góc$H$của điểm$A$lên$\pi$.

• Tìm hình chiếu của đoạn$AB$lên$\pi$, tính độ dài$PH$hoặc xác định tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải nhanh và chính xác, bạn cần tuân theo chiến lược sau:

1. Xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng$\pi$.

2. Ghi rõ tọa độ điểm$A(x_0,y_0,z_0)$,$B(x_1,y_1,z_1)$nếu có.

3. Lấy véc-tơ pháp tuyến$\mathbf{n}=(A,B,C)$.

4. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

5. Tìm tọa độ hình chiếu$H$theo công thức:$H\bigl(x_0-\frac{A(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2},\;y_0-\frac{B(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2},\;z_0-\frac{C(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}\bigr).$

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là 3 bước chính khi tìm phép chiếu vuông góc của điểm.

Bước 1: Xác định$\pi:Ax+By+Cz+D=0$và véc-tơ pháp tuyến$\mathbf{n}=(A,B,C)$.

Bước 2: Tính $d = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Bước 3: Tính tọa độ hình chiếu theo công thức$H(\dots)$nêu ở trên.

Ví dụ 1: Chiếu điểm lên mặt phẳng

Cho điểm$A(1,2,3)$và mặt phẳng$\pi:2x - y +2z -3=0$. Tìm hình chiếu vuông góc$H$của$A$lên$\pi$.

• Bước 1:$\mathbf{n}=(2,-1,2)$;$D=-3$.

• Bước 2: Tính$t=Ax_0+By_0+Cz_0+D=2 \cdot 1-1 \cdot 2+2 \cdot 3-3=2-2+6-3=3$.

$A^2+B^2+C^2=2^2+(-1)^2+2^2=9,<br />\quad d=\frac{|3|}{\sqrt9}=1.$

• Bước 3: Riêng tọa độ $H$:

$H\Bigl(1-\frac{2 \cdot 3}{9},\;2-\frac{-1 \cdot 3}{9},\;3-\frac{2 \cdot 3}{9}\Bigr)<br />=\bigl(1-\tfrac{2}{3},\;2+\tfrac{1}{3},\;3-\tfrac{2}{3}\bigr)<br />=\bigl(\tfrac{1}{3},\;\tfrac{7}{3},\;\tfrac{7}{3}\bigr).$

Ví dụ 2: Chiếu đoạn thẳng lên mặt phẳng

Cho$A(1,0,2)$,$B(3,1,0)$, mặt phẳng$\pi:x-2y+2z-4=0$. Tìm hình chiếu$A',B'$và độ dài$A'B'$.

– Áp dụng từng bước với mỗi điểm$A$,$B$như ví dụ 1 để tìm$A'(x'_A,y'_A,z'_A)$và $B'(x'_B,y'_B,z'_B)$. Sau đó

$A'B'=\sqrt{(x'_B-x'_A)^2+(y'_B-y'_A)^2+(z'_B-z'_A)^2}.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

– Phương trình mặt phẳng:$\pi:Ax+By+Cz+D=0$.

– Véc-tơ pháp tuyến:$\mathbf{n}=(A,B,C)$.

– Khoảng cách từ $P(x_0,y_0,z_0)$ đến$\pi$: $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

– Tọa độ hình chiếu $H$ của $P$ :

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

– Chiếu từ đường thẳng lên mặt phẳng: Tìm hai điểm bất kỳ trên đường thẳng, chiếu từng điểm.

– Tính diện tích hình chiếu của hình đa giác: Chiếu từng đỉnh rồi dùng công thức hình đa giác.

– Chiếu lên nhiều mặt phẳng khác nhau: Thực hiện tuần tự hoặc chọn hệ tọa độ thích hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho$M(2,1,5)$và $\pi:3x+4y-12z+7=0$. Tìm hình chiếu$M'$và khoảng cách$d(M,\pi)$.

– Véc-tơ pháp tuyến$\mathbf{n}=(3,4,-12)$,$\Delta=3 \cdot 2+4 \cdot 1-12 \cdot 5+7=6+4-60+7=-43$,$S=9+16+144=169$.

– Khoảng cách: $d=\frac{|-43|}{\sqrt{169}}=\frac{43}{13}.$

– Tọa độ $M'$:$M'\Bigl(2-\frac{3(-43)}{169},\;1-\frac{4(-43)}{169},\;5-\frac{-12(-43)}{169}\Bigr)<br />=\Bigl(2+\tfrac{129}{169},\;1+\tfrac{172}{169},\;5-\tfrac{516}{169}\Bigr).$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Cho$A(0,3,4)$,$\pi: x+y+z-6=0$. Tìm$H$và $d(A,\pi)$.

2. Cho đoạn$AB$với$A(2,0,1)$,$B(0,1,3)$, chiếu lên$\pi:2x-3y+6z+5=0$, tính$A'B'$.

3. Cho đường thẳng qua$P(1,2,3)$và $Q(4,0,1)$, chiếu lên$\pi:x-2y+z=1$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

– Luôn kiểm tra dấu của$\Delta=Ax_0+By_0+Cz_0+D$trước khi thế vào công thức.

– Không nhầm lẫn giữa khoảng cách$d$và tọa độ hình chiếu.

– Viết rõ $S=A^2+B^2+C^2$ để tránh sai sót khi thay số.