Chiến lược giải các bài toán Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11)

1. Giới thiệu về dạng bài toán Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài toán “Hai mặt phẳng vuông góc” là một trong những chủ đề trọng điểm trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Dạng bài này yêu cầu học sinh xác định mối quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng, chứng minh hoặc sử dụng tính vuông góc của chúng để giải các bài toán khác (chứng minh, tính toán góc, tìm đường vuông góc chung,...). Đây là dạng bài thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và đề thi thử THPT Quốc gia.

Nắm vững dạng toán này không chỉ giúp học tốt Hình học lớp 11 mà còn là nền tảng cho các vấn đề hình học không gian ở các lớp sau. Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập cách giải Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc miễn phí ngay trên hệ thống!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Đề bài yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng$ig(ext{P}ig)$,$ig(ext{Q}ig)$vuông góc nhau.
• Có các từ khóa:
• "chứng minh hai mặt phẳng vuông góc", "góc giữa hai mặt phẳng", "tìm đường vuông góc chung"
• .
• Liên quan đến các thiết diện vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hoặc hai đường thẳng cắt nhau thuộc hai mặt phẳng.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Công thức xác định góc giữa hai mặt phẳng qua góc giữa hai đường thẳng cắt nhau (hoặc qua véc-tơ pháp tuyến):
• $\cos \alpha = \left|\frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\left|\vec{n}_1\right| \cdot \left|\vec{n}_2\right|}\right|$
• Định lý về sự vuông góc của hai mặt phẳng dựa trên đường thẳng vuông góc chung hoặc các tính chất về góc giữa hai đường thẳng.
• Kỹ năng xác định véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng, dựng hình trong không gian.
• Liên hệ với các chủ đề: đường vuông góc, chuyên đề hình học không gian tổng hợp.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Gạch chân các yêu cầu cần chứng minh/tìm kiếm.
• Tìm các dữ kiện đã cho (tọa độ, phương trình mặt phẳng, quan hệ giữa các đường thẳng/mặt phẳng).
• Xác định loại bài: chứng minh vuông góc, tính góc, tìm đường vuông góc chung...

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn phương pháp phù hợp (dùng véc-tơ pháp tuyến, dựng đường vuông góc chung, sử dụng tính chất hình học…).
• Lập sơ đồ giải, liệt kê thứ tự từng bước.
• Ước lượng kết quả (góc, trạng thái vuông góc...) để đối chiếu với đáp số.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng công thức, định lý tương ứng.
• Tính toán từng bước, kiểm tra kỹ các phép toán.
• Kết luận rõ ràng, kiểm tra tính hợp lý của kết quả cuối cùng.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• Sử dụng véc-tơ pháp tuyến: xác định hai véc-tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, tính tích vô hướng để kiểm tra vuông góc ($\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$).
• Ưu điểm: Dễ áp dụng với mặt phẳng có phương trình/toạ độ rõ ràng. Nhược: Khó dựng véc-tơ khi đề bài không cho toạ độ.
• Nên dùng khi bài toán dạng toạ độ hoặc yêu cầu tính số đo cụ thể.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Tận dụng hình vẽ không gian để phát hiện song song/vuông góc.
• Sử dụng đường vuông góc chung: Dựng hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.
• Mẹo: Nhớ dấu hiệu vuông góc giữa hai mặt phẳng là có một đường trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho tứ diện$ABCD$có $AB \perp (BCD)$và $AC \perp AD$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng$(ABC)$và $(ABD)$vuông góc với nhau.

Giải chi tiết:

• Ta nhận thấy$AB \perp (BCD)$nên$AB$vuông góc với mọi đường trong$(BCD)$qua$B$.
• $AC$và $AD$cùng thuộc$(ABD)$,$AC \perp AD$.
• Xét điểm$A$.$(ABC)$chứa$AB, AC$;$(ABD)$chứa$AB, AD$. Do$AC \perp AD$và cùng vuông góc với$AB$, hai mặt phẳng$(ABC)$và $(ABD)$vuông góc tại$AB$.
• Kết luận:$(ABC) \perp (ABD)$tại$AB$.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh hai mặt phẳng$(ABC)$và $(A'B'C')$vuông góc với nhau.

Cách giải 1 (Dùng véc-tơ pháp tuyến):

• $(ABC)$có véc-tơ pháp tuyến cùng phương với$AA'$,$(A'B'C')$có véc-tơ pháp tuyến cùng phương với$AD$.
• $AA' \perp AD$do là hai cạnh vuông góc của lập phương.
• Suy ra hai mặt phẳng vuông góc nhau.

Cách giải 2 (Dùng thiết diện):

• Xét giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng trung trực của cạnh chung.
• Từ các cạnh vuông góc của lập phương, chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc nhau.

So sánh các cách:

• Cách 1 ngắn gọn, áp dụng tốt với hình học tọa độ; cách 2 phù hợp với bài tập hình vẽ hình học thuần tuý.

6. Các biến thể thường gặp

• Dạng có thêm điểm, đường thẳng, phân giác, hoặc diện tích trong các mặt phẳng vuông góc.
• Cần thay đổi phương pháp phù hợp: nếu bài toán hình học không gian phức tạp, cần chuyển sang dựng hình, phân tích mối liên hệ giữa đường vuông góc với mặt phẳng.
• Mẹo: Hãy kiểm tra kỹ các giả thiết phụ và vẽ hình cẩn thận.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn giữa vuông góc hai đường thẳng với vuông góc hai mặt phẳng.
• Áp dụng sai công thức hoặc lẫn lộn pháp tuyến, cắt nhau, giao tuyến...
• Cách khắc phục: Đọc kỹ lý thuyết, minh họa bằng hình vẽ.

7.2 Lỗi về tính toán

• Thực hiện sai phép nhân vô hướng, xác định sai véc-tơ pháp tuyến.
• Làm tròn số quá sớm trong các bài toán số học.
• Kiểm tra lại quá trình tính sau mỗi phép toán.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập cách giải Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ, cải thiện kỹ năng giải toán cùng kho đề chất lượng!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Tuần 1: Ôn lại lý thuyết, giải 05 bài cơ bản mỗi buổi.
• Tuần 2: Luyện giải bài tập nâng cao, phân tích lỗi sai sau mỗi bài.
• Tuần 3: Tổng hợp, tự giải đề kiểm tra thử.
• Mục tiêu: Hiểu khái niệm, vận dụng thành thạo các phương pháp, biết nhận biết biến thể và tránh lỗi phổ biến.
• Tự đánh giá tiến bộ bằng việc kiểm tra kết quả học tập trên hệ thống.