Chiến lược giải bài toán "Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm" lớp 11 hiệu quả

1. Giới thiệu về bài toán "Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm"

Bài toán về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là phần trọng tâm trong chương thống kê lớp 11. Các số như số trung bình (mean), trung vị (median) và mốt (mode) giúp mô tả xu thế điển hình của một bộ số liệu, từ đó hỗ trợ phân tích dữ liệu, ra quyết định cũng như nhận diện các đặc điểm tiêu biểu của tập hợp. Nắm vững cách giải bài toán này không chỉ giúp đạt điểm cao, mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học xác suất, thống kê ở các lớp cao hơn hoặc ứng dụng trong thực tiễn.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

• Có thể cho dưới dạng dãy số liệu rời rạc, bảng tần số hoặc bảng phân lớp ghép nhóm.
• Có thể yêu cầu tính một hoặc nhiều số đặc trưng (trung bình, trung vị, mốt).
• Đôi khi cho dữ liệu đã nhóm, học sinh phải ước lượng số trung bình, trung vị, mốt bằng các công thức thống kê.
• Có thể xuất hiện câu hỏi lý thuyết về ý nghĩa, so sánh hoặc biến thể đề bài.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

4. Các bước giải quyết chi tiết từng dạng toán (có ví dụ minh họa)

a) Dạng 1: Dữ liệu rời rạc (dãy số cụ thể)

Ví dụ: Cho dãy số liệu: 3, 5, 7, 8, 5, 9, 7, 5, 6, 7. Hãy tính trung bình cộng, trung vị, mốt.

• Bước 1: Tính trung bình cộng (mean):
• - Tổng các số:$3+5+7+8+5+9+7+5+6+7=62$
• - Số lượng số:$n=10$
• - Trung bình:$ar{x} = \frac{62}{10} = 6.2$

• Bước 2: Tìm trung vị (median):
• - Sắp xếp số liệu: 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
• - Vì $n=10$(chẵn), trung vị là trung bình cộng của số thứ 5 và thứ 6:$(6+7)\div2=6.5$

• Bước 3: Tìm mốt (mode):
• - Số xuất hiện nhiều nhất là 5 và 7 (mỗi số xuất hiện 3 lần), nên dãy số có hai mốt: 5 và 7.

b) Dạng 2: Bảng tần số

Ví dụ: Điểm kiểm tra của một lớp được tổng hợp như sau:
| Điểm$x_i$| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|:-----------:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Số học sinh$n_i$| 2 | 4 | 7 | 3 | 4 |

• Bước 1: Tính trung bình cộng:
• $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i} = \frac{5 \times 2 + 6 \times 4 + 7 \times 7 + 8 \times 3 + 9 \times 4}{2 + 4 + 7 + 3 + 4} = \frac{10 + 24 + 49 + 24 + 36}{20} = \frac{143}{20} = 7.15$

• Bước 2: Tìm trung vị:
• - Tổng số học sinh:$20$, lấy vị trí trung vị là học sinh thứ $10$và $11$.
• - Xếp các điểm theo thứ tự: 5 (2 HS), 6 (4 HS), 7 (7 HS), 8 (3 HS), 9 (4 HS).
• - Học sinh thứ $7$ đến$13$có điểm 7 → Điểm trung vị là 7.

• Bước 3: Tìm mốt:
• - Giá trị xuất hiện nhiều nhất là điểm 7 (7 HS), nên mốt là 7.

c) Dạng 3: Dữ liệu phân lớp (ghép nhóm)

Ví dụ: Bảng phân bố điểm thống kê:
| Lớp điểm | 2–4 | 4–6 | 6–8 | 8–10 |
|:--------:|:---:|:---:|:---:|:----:|
| Số HS | 3 | 6 | 10 | 1 |

• Bước 1: Tính trung bình cộng (giả sử điểm trong mỗi lớp lấy giá trị giữa):
• - Trung điểm các lớp: 3, 5, 7, 9
• - Tính:$\bar{x} = \frac{3 \times 3 + 5 \times 6 + 7 \times 10 + 9 \times 1}{3+6+10+1} = \frac{9+30+70+9}{20} = \frac{118}{20} = 5.9$

• Bước 2: Tìm trung vị (sử dụng công thức trung vị cho bảng lớp)
• - Tổng số HS = 20, nên trung vị ở vị trí thứ 10,5.
• - Cộng dồn số HS đến lớp 2–4: 3; 4–6: 3+6=9; 6–8: 9+10=19. Trung vị thuộc lớp 6–8.
• - Dùng công thức trung vị cho bảng nhóm:
  $Me = L + \frac{\left(\frac{N}{2} - F\right)}{f} \cdot h$
  Trong đó:
  $L$: cận dưới lớp chứa trung vị ($6$),$N$: tổng số quan sát ($20$),$F$: số HS trước lớp trung vị ($9$),$f$: số HS lớp trung vị ($10$),$h$: độ rộng lớp ($2$)
• Áp dụng:$Me = 6 + \frac{10 - 9}{10} \times 2 = 6 + 0.2 = 6.2$

• Bước 3: Tìm mốt (Mode):
• - Lớp có nhiều HS nhất là 6–8 (10 HS), là lớp mốt.
• - Công thức mốt:
  $Mo = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \cdot h$
  $L$là cận dưới lớp mốt ($6$),$f_1$là tần số lớp mốt ($10$),$f_0$là tần số lớp đứng trước ($6$),$f_2$là tần số lớp đứng sau ($1$),$h$là độ rộng lớp ($2$)
• - Áp dụng:$Mo = 6 + \frac{10-6}{2 \times 10-6-1} \times 2 = 6 + \frac{4}{13} \times 2 \approx 6.62$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Trung bình cộng dãy rời rạc: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
• - Trung bình cộng bảng tần số: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$
• - Trung bình cộng dữ liệu nhóm: $\bar{x} = \frac{\sum x_i^<em> n_i}{\sum n_i}$, với $x_i^</em>$ là trung điểm lớp.
• - Trung vị cho dãy số: Nếu$n$lẻ, trung vị là số giữa; nếu$n$chẵn, trung vị là trung bình cộng hai số ở giữa.
• - Trung vị cho bảng ghép nhóm:
  $Me = L + \frac{\left(\frac{N}{2} - F\right)}{f} \cdot h$
• - Mốt cho bảng ghép nhóm:
  $Mo = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \cdot h$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Có thể gặp các biến thể như: cho trước số trung bình/mốt/trung vị, yêu cầu tìm giá trị chưa biết; dữ liệu thiếu một số số liệu; yêu cầu so sánh các số đo hoặc chứng minh nhận xét; bài toán thực tế (tính lương, tính điểm...). Với các biến thể này, học sinh cần phân tích đề bài, biểu diễn đại lượng chưa biết bằng ẩn số rồi sử dụng công thức để lập phương trình giải ẩn.

• Nếu thiếu giá trị, đặt ẩn rồi sử dụng công thức để giải.
• Nếu bị thay đổi dữ liệu, chú ý cập nhật tổng và tần số.
• Đối với dữ liệu thực tế, xác định rõ ý nghĩa của từng đại lượng và đơn vị đo.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập mẫu: Một công ty thống kê lương theo các mức sau (đơn vị: triệu đồng):
| Khoảng lương | 5–7 | 7–9 | 9–11 | 11–13 |
|:-----------:|:---:|:---:|:----:|:-----:|
| Số nhân viên | 4 | 10 | 8 | 3 |

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự luyện tập theo các dạng:

• Dạng 1: Một dãy số: 6, 8, 8, 9, 10, 11, 7, 8. Tính trung bình, trung vị, mốt.
• Dạng 2: Cho bảng tần số:
  |$x_i$| 3 | 5 | 7

  9
  $n_i$

  1 | 2 | 7 | 2 |
  Tính trung bình, trung vị, mốt.
• Dạng 3: Cho bảng ghép nhóm:
  | Khoảng giá trị | 1–4 | 4–7

  7–10
  Số lần xuất hiện

  3 | 10 | 5 |
  Tính trung bình, trung vị, mốt.

Khuyến khích học sinh tự giải chi tiết từng bước và đối chiếu đáp án với thầy cô hoặc bạn học.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Kiểm tra tổng số liệu (tổng số phiếu, tổng số học sinh...) để tránh tính nhầm.
• Chỉ trung vị, mốt bảng ghép nhóm mới dùng công thức ước lượng; nếu là dãy số cụ thể thì xác định trực tiếp.
• Chú ý xác định đúng lớp chứa trung vị hoặc mốt (dựa vào cộng dồn tần số).
• Ghi rõ đơn vị (nếu có: triệu đồng, điểm,...) trong kết quả trả lời.
• Soát lại: Đáp số trung bình phải nằm trong khoảng giá trị, mốt phải thuộc lớp tần số lớn nhất...
• Nếu bài toán yêu cầu nhận xét, liên hệ thực tế, hãy giải thích ý nghĩa của các số đo vừa tính được.