1. Giới thiệu về bài toán cấp số nhân và tầm quan trọng

Cấp số nhân (còn gọi là chuỗi nhân hoặc geometric sequence) là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Bài toán cấp số nhân không chỉ rèn luyện về kỹ năng tính toán mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực của đời sống như tài chính, vật lý và sinh học. Nắm vững cách giải bài toán cấp số nhân sẽ giúp bạn tự tin hơn khi xử lý các bài toán dãy số nói riêng và các dạng toán đại số nói chung.

2. Đặc điểm của bài toán cấp số nhân

Một cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi (gọi là công bội$q$). Một số đặc điểm cơ bản:

• Dạng tổng quát:$u_{n} = u_1 imes q^{n-1}$
• Công bội$q$là hằng số không đổi và $q<br> \neq 0$
• Nếu$|q| > 1$, dãy "phát triển nhanh"; nếu$|q| < 1$, dãy "thu nhỏ"

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán cấp số nhân

Để giải hiệu quả các bài toán cấp số nhân, bạn nên đi theo quy trình từ nhận diện –> thiết lập công thức –> khai thác thông tin đề bài –> giải quyết từng phần –> kiểm tra lại kết quả.

1. Bước 1: Xác định được đó là cấp số nhân (kiểm tra cấu trúc dãy số và công bội$q$).
2. Bước 2: Ghi ra công thức tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$.
3. Bước 3: Đặt ẩn số nếu chưa biết$u_1$,$q$, giải hệ phương trình nếu cần.
4. Bước 4: Áp dụng các công thức tính tổng, trung bình, số hạng,...
5. Bước 5: Kiểm tra kỹ điều kiện bài toán (công bội khác 0, khác 1 trừ trường hợp đặc biệt).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số $(u_n)$là cấp số nhân với$u_1 = 3$,$q = 2$. Hãy tính$u_5$và $S_5$(tổng 5 số hạng đầu tiên của dãy).

1. Bước 1: Nhận dạng dãy số: Đề bài cho rõ cấp số nhân,$u_1 = 3$,$q = 2$
2. Bước 2: Số hạng tổng quát$u_5 = u_1 \times q^{5-1} = 3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$
3. Bước 3: Tính tổng$S_5 = u_1 \times \frac{q^5 - 1}{q - 1} = 3 \times \frac{32 - 1}{2 - 1} = 3 \times 31 = 93$

Ví dụ 2: Cho$u_3 = 6$,$u_6 = 48$; hãy tìm$u_1$và $q$.

1. Áp dụng$u_3 = u_1 q^{2} = 6$,$u_6 = u_1 q^{5} = 48$
2. Lập hệ
   $$\begin{cases} u_1q^2=6 \\u_1q^5=48 \\\end{cases}$$
3. Chia 2 vế:$\frac{u_1 q^5}{u_1 q^2} = \frac{48}{6} \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2$
4. Thay vào$u_1 q^2 = 6 \Rightarrow u_1 \times 4 = 6 \Rightarrow u_1 = 1,5$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Số hạng tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$
• Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$(với$q <br> \neq 1$)
• Nếu biết hai số hạng $u_k, u_m$thì $q = \sqrt[n]{\frac{u_m}{u_k}}$, với $n = m - k$
• Tìm số hạng theo vị trí:$u_m = u_k q^{m-k}$
• Tổng vô hạn (với$|q| < 1$):$S = \frac{u_1}{1-q}$

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Tìm số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước (ví dụ: lớn hơn một giá trị, chia hết cho một số,...). Khi đó, biến đổi công thức tổng quát$u_n$theo yêu cầu bài toán.
• Tìm số hạng$u_n$biết tổng$S_n$. Đặt$u_1$, lập phương trình tổng để tìm ẩn.
• TLiên hệ với bài toán ứng dụng thực tế: tính lãi kép, tăng trưởng dân số, vật lý, ... áp dụng công thức cấp số nhân.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Một cấp số nhân có $u_1 = 5$, công bội$q = 3$.

1. Tính$u_4$và tổng$S_4$.
2. Tìm số hạng$u_n$bằng$405$.

1. + Giải:
2. a)$u_4 = u_1 \times q^{4-1} = 5 \times 3^3 = 5 \times 27 = 135$
3. Tổng$S_4 = 5 \times \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 5 \times \frac{81 - 1}{2} = 5 \times 40 = 200$
4. b)$u_n = 5 \times 3^{n-1} = 405 \implies 3^{n-1} = 81 \implies n-1 = 4 \implies n = 5$

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự luyện tập:

1. Cho cấp số nhân$u_1 = 2$,$q = 4$. Tính$u_6$và $S_6$.
2. Cấp số nhân có $u_2 = 9$,$u_5 = 243$. Tìm$u_1$và $q$.
3. Tìm tổng$S_n$của cấp số nhân$u_1 = 1$,$q = 2$,$n = 10$.
4. Tìm số hạng thứ $n$biết$u_1 = 6$,$u_n = 486$,$q=3$.

9. Mẹo, lưu ý, và các sai lầm phổ biến cần tránh

• Cẩn thận khi áp dụng công thức tổng$S_n$, cần kiểm tra$q <br> \neq 1$.
• Số mũ trong$q^{n-1}$hoặc$q^{m-k}$phải đúng vị trí (chú ý đếm từ $u_1$).
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định:$q <br> \neq 0$, dãy không được chứa số 0 nếu bài toán yêu cầu.
• Chọn đúng công bội (dương/âm) tùy theo ý nghĩa bài toán.
• Có thể gặp cấp số nhân "giảm dần" nếu$|q| < 1$.
• Không nhầm lẫn với cấp số cộng (cấp số cộng là cộng, cấp số nhân là nhân).

Trên đây là chiến lược cách giải bài toán cấp số nhân cực kỳ chi tiết dành cho học sinh lớp 11 với ví dụ minh họa, công thức then chốt và bài tập thực hành. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao khi làm bài dạng này!