1. Giới thiệu về bài toán dãy số và tầm quan trọng

Bài toán về dãy số là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Dãy số xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững phương pháp giải và cách vận dụng linh hoạt giúp học sinh phát triển tư duy logic, làm nền tảng để học tốt các chuyên đề khác như giới hạn, tích phân, giải tích và các ứng dụng thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán về dãy số

- Một dãy số là một tập hợp các số xếp theo thứ tự xác định, thường ký hiệu là $(u_n)$hoặc$(a_n)$.
- Dãy số có thể được xác định bởi công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi.
- Dạng toán phổ biến: Tìm số hạng tổng quát$(u_n)$, tìm công sai$(d)$, công bội$(q)$, tính tổng$S_n$của dãy, tìm điều kiện về dãy số tăng/giảm, tương quan giữa các số hạng,...

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán dãy số

Để giải hiệu quả bài toán dãy số, cần thực hiện theo các bước:

• Xác định rõ kiểu dãy số: cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số đặc biệt,...
• Viết công thức tổng quát hoặc truy hồi cho dãy số.
• Phân tích đề bài để rút ra công thức, phương trình liên quan.
• Áp dụng các công thức, tính chất dãy số đã học.
• Giải bài chi tiết từng bước, kiểm tra kết quả với điều kiện đã cho.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

a) Dạng 1: Tìm công thức số hạng tổng quát$u_n$

• Bước 1: Ghi các số hạng đầu tiên của dãy.
• Bước 2: Quan sát tìm quy luật – kiểm tra xem có phải cấp số cộng (CS cộng), cấp số nhân (CS nhân) không?
• Bước 3: Đặt giả thiết dãy số rồi tìm công thức$u_n$.

Ví dụ: Cho dãy số $(u_n)$:$2, 5, 8, 11,...$. Tìm$u_n$.

Giải:

• Công sai$d = 5 - 2 = 3$.
• Dãy là cấp số cộng (CS cộng) có $u_1 = 2$,$d = 3$.
• Công thức tổng quát:
  $u_n = u_1 + (n-1)d = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$

b) Dạng 2: Tính tổng$S_n$các số hạng đầu

• Đối với CS cộng:
  $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$hoặc$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$
• Đối với CS nhân:
  $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad (q <br>e 1)$

Ví dụ: Dãy CS cộng có $u_1 = 3, d = 5$. Tính$S_{10}$.

Giải:

• Tính$u_{10}$:$u_{10} = 3 + (10 - 1) \times 5 = 48$
• Áp dụng công thức:
  $S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 48) = 5 \times 51 = 255$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

a) Cấp số cộng:
- Số hạng tổng quát:$u_n = u_1 + (n-1)d$
- Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

b) Cấp số nhân:
- Số hạng tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$
- Tổng$n$số hạng đầu (nếu$q <br>e 1$):$S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Các kỹ thuật quan sát khác: quy nạp toán học, móc xích số học, chia dãy thành từng nhóm, biến đổi lùi/vượt chỉ số, công thức truy hồi,...

6. Các biến thể của bài toán dãy số và điều chỉnh chiến lược

Dãy tổng quát – Đề bài không chỉ dừng ở cấp số cộng/nhân mà còn có thể là dãy truy hồi, dãy xác định qua tính chất chia hết, dãy đặc biệt,...
Chiến lược điều chỉnh:

• Nếu đầu bài cho công thức truy hồi: Áp dụng quy nạp toán học để tìm dạng tổng quát.
• Dãy số đặc biệt: Xác định quy luật bằng thử số hạng đầu, kiểm tra với dạng dãy quen thuộc (tam giác Pascal, Fibonacci, hoán vị,...).

Ví dụ: Dãy số $(u_n)$xác định bởi$u_1 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 1$. Hãy tìm$u_n$.

Giải:

Ta có $u_1 = 1$,$u_2 = 2 \times 1 + 1 = 3$,$u_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$,$u_4 = 2 \times 7 + 1 = 15$.
Dự đoán$u_n = 2^n - 1$.
Chứng minh bằng quy nạp toán học.
- Bước 1:$n = 1$,$u_1 = 2^1 - 1 = 1$(đúng)
- Bước quy nạp: Giả sử $u_k = 2^k - 1$, ta có $u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1$(thỏa mãn).
Vậy$u_n = 2^n - 1$.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Cho dãy số $(a_n)$xác định bởi$a_1 = 3$,$a_{n+1} = 2a_n + 4$. Hãy tính$a_n$.

Giải:

• Nhận thấy$a_n$là dãy số truy hồi bậc nhất.
• Ta dự đoán$a_n$có dạng$A \cdot 2^n + B$.
• Đặt$a_n = p.2^n + q$, thế vào công thức truy hồi:
• $a_{n+1} = 2a_n + 4 \implies p \cdot 2^{n+1} + q = 2(p \cdot 2^n + q) + 4$.\
  $\rightarrow p \cdot 2^{n+1} + q = 2p \cdot 2^n + 2q + 4$\
  $\rightarrow p \cdot 2^{n+1} + q = 2p \cdot 2^n + 2q + 4$\
  $\rightarrow p \cdot 2^{n+1} - 2p \cdot 2^n = 2q + 4 - q$\
  $\rightarrow 2p \cdot 2^n = q + 4$
• So sánh hệ số,$2p$là hệ số của$2^n$nên hệ số tự do phải bằng nhau với mọi$n$:$q + 4 = 0 \implies q = -4$
• Tìm$p$bằng điều kiện đầu:$a_1 = 3 \Rightarrow p \cdot 2^1 - 4 = 3 \Rightarrow 2p = 7 \Rightarrow p = \frac{7}{2}$
• Vậy$a_n = \frac{7}{2} \cdot 2^n - 4 = 7 \cdot 2^{n-1} - 4$

Kiểm tra lại với$n=1$,$a_1 = 7 \cdot 2^0 - 4 = 7 - 4 = 3$(đúng).

8. Bài tập thực hành

a) Cho dãy số $(b_n)$là cấp số cộng với$b_1 = 6, b_4 = 15$. Hãy tìm công sai$d$, công thức$b_n$và $S_{10}$.

b) Cho dãy CS nhân$(c_n)$với$c_1 = 2$,$c_3 = 8$. Tìm$q$,$c_n$và tổng$S_5$.

c) Cho dãy$(x_n)$xác định:$x_1 = 2$,$x_{n+1} = 3x_n - 1$. Tìm$x_n$dưới dạng tổng quát.

d) Cho dãy số $(d_n)$:$d_1 = 1, d_2 = 3, d_n = d_{n-1} + d_{n-2}$(n \geq 3)$. Tìm$d_6$.

e) Dãy số $(y_n)$có $y_1 = 9$,$y_{n+1} = \frac{y_n}{3} + 2$. Tìm$y_3$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra lại dạng dãy (cộng, nhân, truy hồi).
• Xác định rõ số hạng đầu, công sai, công bội.
• Lưu ý chỉ số của số hạng đầu: Một số bài cho$u_0$, có bài cho$u_1$.
• Với dãy số truy hồi, cần kiểm tra ít nhất 3-4 số hạng đầu để phán đoán quy luật.
• Khi tính tổng nhiều số hạng lớn, nên kiểm tra kỹ lại phép tính.
• Áp dụng đúng công thức, tránh nhầm lẫn giữa CS cộng và CS nhân.