1. Giới thiệu về loại bài toán Dãy số và tầm quan trọng

Dãy số là một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Các bài toán về dãy số không chỉ giúp hình thành tư duy quy nạp, nhận biết quy luật mà còn là nền tảng cho các kiến thức giải tích, đại số trong những năm học tiếp theo, cũng như khi học đại học. Việc thành thạo cách giải bài toán dãy số giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát, phân tích và hệ thống hóa vấn đề.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán dãy số

• Dãy số là một danh sách hữu hạn hoặc vô hạn các số, ký hiệu là $\{u_n\}$hoặc$\{a_n\}$với$n$nguyên dương.
• Có các loại dãy số cơ bản: dãy số xác định bởi biểu thức số hạng tổng quát, dãy số truy hồi (dựa trên các số hạng trước đó).
• Các bài toán liên quan thường gồm: tìm số hạng tổng quát, tính tổng các số hạng đầu, tìm quy luật, chứng minh tính chất,...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán dãy số

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu (tìm số hạng, tổng, quy luật, chứng minh,...).
2. Ghi ra các số hạng đầu tiên để nhận biết quy luật.
3. Phân loại dãy: cấp số cộng, cấp số nhân, dãy xác định qua truy hồi, hoặc dãy đặc biệt.
4. Áp dụng đúng công thức, biến đổi đại số, chứng minh quy nạp nếu cần.
5. Luôn kiểm tra lại logic và kết quả.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số $u_1 = 2$,$u_{n+1} = 3u_n + 1$với$n \geq 1$. Hãy tìm công thức số hạng tổng quát$u_n$.

1. Bước 1: Ghi các số hạng đầu tiên:$u_1 = 2$,$u_2 = 3 \times 2 + 1 = 7$,$u_3 = 3 \times 7 + 1 = 22$,...
2. Bước 2: Nhận dạng đây là dãy truy hồi tuyến tính bậc nhất không thuần nhất.
3. Bước 3: Giả sử $u_n = a. 3^{n} + b$(do hệ số truy hồi là 3), thay vào công thức truy hồi, giải hệ để tìm$a$và $b$.

Thay$u_n = a. 3^{n} + b$vào truy hồi, ta có:

$u_{n+1} = 3u_n + 1$

$a. 3^{n+1} + b = 3(a. 3^{n} + b) + 1$

$a. 3^{n+1} + b = 3a. 3^{n} + 3b + 1$

$a. 3^{n+1} + b = a. 3^{n+1} + 3b + 1$\implies b = 3b + 1 \implies -2b = 1 \implies b = -\frac{1}{2}$

Tìm$a$bằng cách dùng$u_1 = 2$:$u_1 = a. 3^{1} + b = 3a - \frac{1}{2} = 2 \implies 3a = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \implies a = \frac{5}{6}$

Vậy$u_n = \frac{5}{6}. 3^{n} - \frac{1}{2}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức số hạng tổng quát cấp số cộng:$u_n = u_1 + (n-1)d$
• Công thức tổng cấp số cộng:$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$hoặc$S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$
• Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân:$u_n = u_1 q^{n-1}$
• Công thức tổng cấp số nhân:$S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}$,$q <br> \neq 1$
• Kỹ thuật truy hồi: Giải dãy số yêu cầu phân tích, phỏng đoán, dùng phương pháp lặp, hoặc biến đổi về dãy dễ hơn.
• Phương pháp quy nạp để chứng minh công thức.

6. Các biến thể của bài toán dãy số và cách điều chỉnh chiến lược

• Dãy số không xác định rõ ràng quy luật: Cần vẽ bảng, phỏng đoán bằng cách kiểm tra tỷ số, hiệu số, hoặc tính chất lạ.
• Dãy số xác định truy hồi không thuần nhất: Kết hợp giải dãy thuần nhất, cộng nghiệm riêng, hoặc dùng biến đổi.
• Bài toán tổng dãy có kẽm điều kiện: Phải biến dãy về dạng tiêu chuẩn hoặc tạo ra truy hồi cho tổng.
• Dãy số chứa căn, phân thức: Dùng quy nạp toán học, khai triển hoặc tạo dãy phụ.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: Cho dãy$(u_n)$xác định$u_1 = 1$,$u_{n+1} = 2u_n + 3$với$n \geq 1$. Hãy tìm$u_n$.

1. Bước 1: Viết vài số hạng đầu:$u_1=1$,$u_2=2 \times 1+3=5$,$u_3=2 \times 5+3=13$,$u_4=2 \times 13+3=29$.
2. Bước 2: Đặt$u_n = a.2^n + b$. Thay vào truy hồi:$a.2^{n+1} + b = 2(a.2^n + b) + 3 \implies a.2^{n+1} + b = 2a.2^{n} + 2b + 3$
3. $a.2^{n+1} + b = a.2^{n+1} + 2b + 3 \implies b = 2b + 3 \implies -b = 3 \implies b = -3$
4. Dùng$u_1 = 1$:$a.2^1 - 3 = 1 \implies a = 2$

Vậy$u_n = 2.2^n -3$.

Bài tập mẫu 2: Dãy số $a_1 = 1, a_2 = 4, a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$với$n \geq 3$. Tìm$a_n$.

1. Viết số hạng đầu:$a_1=1$,$a_2=4$,$a_3=5.4-6.1=14$.
2. Dạng truy hồi:$a_n = \alpha.r_1^{n} + \beta.r_2^{n}$(với$r_1, r_2$là nghiệm phương trình$x^2-5x+6=0$).
3. Nghiệm$r_1=2$,$r_2=3$.
4. Đặt$a_n = A.2^n + B.3^n$.
5. Lập hệ phương trình: \begin{cases} A.2^1 + B.3^1 = 1 \\ A.2^2 + B.3^2 = 4 \end{cases}
6. Giải hệ:$2A+3B=1$,$4A+9B=4$. Trừ:$2A+6B=3 \implies 2A= -2B +1$, thế vào:$4A + 9B = 4 \implies 4(-2B + 1) + 9B = 4 \implies -8B +4 +9B = 4 \implies B = 0$,$A = 0.5$

Vậy$a_n = 0.5 \cdot 2^n + 0.5 \cdot 3^n$.

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự làm, làm xong đối chiếu đáp án cuối bài:

• Bài 1: Cho dãy$(b_n)$với$b_1 = 4$,$b_{n+1} = 2b_n + 5$. Hãy tìm công thức$b_n$.
• Bài 2: Dãy số $c_1=1, c_2=2, c_{n+1}=c_n+c_{n-1}$(dãy Fibonacci). Tìm$c_3$,$c_4$,$c_5$.
• Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy$(d_n)$xác định$d_1 = 1$,$d_2 = 7$,$d_{n+2} = 4d_{n+1} - 3d_n$.
• Bài 4: Cho$e_1=2$,$e_{n+1} = 3e_n$. Tính$e_5$và tổng$e_1 + e_2 +... + e_5$.

Đáp án gợi ý – Kiểm tra sau khi làm

• Bài 1:$b_n = -5 + 9 \cdot 2^{n-1}$
• Bài 2:$c_3=3$,$c_4=5$,$c_5=8$
• Bài 3:$d_n=4 \cdot 3^{n-1} -3^{n-1}$
• Bài 4:$e_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$, tổng là $2+6+18+54+162=242$

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra lại công thức bằng vài số hạng đầu.
• Không vội vã áp dụng công thức chuẩn khi dãy không thuộc dạng cấp số cộng/nhân.
• Với truy hồi phức tạp, hãy thử biến đổi, đặt ẩn phụ hoặc dùng phương pháp tổng quát.
• Thường xuyên luyện tập nhiều dạng bài, thực hành nhận diện dạng dãy số.
• Khi chứng minh quy nạp, cần làm rõ bước cơ sở và bước quy nạp, tránh lộn bước.