Chiến lược giải bài toán Hàm số Logarit cho học sinh lớp 11

Bài viết này cung cấp chiến lược tổng thể và các bước chi tiết hướng dẫn cách giải bài toán hàm số logarit dành cho học sinh lớp 11. Với ví dụ minh họa, các công thức cần nhớ, bài tập mẫu và mẹo tránh sai lầm, học sinh sẽ nắm vững kỹ thuật giải và tự tin áp dụng trong mọi dạng bài.

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Hàm số logarit xuất hiện nhiều trong đề thi và bài tập kiểm tra định kỳ. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm số logarit giúp học sinh phát triển khả năng tư duy biến đổi tương đương, xử lý điều kiện xác định và làm quen với các phép biến đổi logarit cơ bản. Đây là nền tảng quan trọng trước khi chuyển sang các chủ đề nâng cao như phương trình mũ, bất phương trình logarit hay ứng dụng thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Các bài toán về hàm số logarit thường có các đặc điểm sau:

- Yêu cầu tìm điều kiện xác định để biểu thức logarit có nghĩa.
- Phải sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, lũy thừa của logarit.
- Thường liên quan đến chuyển đổi thành phương trình đại số quen thuộc.
- Có thể xuất hiện thông số (tham số), bất phương trình hoặc hàm số.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải thành công cách giải bài toán hàm số logarit, học sinh nên tuân theo các bước sau:

- Bước 1: Xác định điều kiện xác định: mỗi biểu thức$\log_a u$yêu cầu$u>0$và $a>0$,$a<br>eq1$.
- Bước 2: Sử dụng các công thức logarit để gom các logarit lại thành một hoặc tách thành nhiều logarit.
- Bước 3: Chuyển đổi bài toán logarit thành phương trình hoặc bất phương trình đại số.
- Bước 4: Giải phương trình/bất phương trình thu được.
- Bước 5: Kiểm tra nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Giải phương trình

$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$

Bước 1: Xác định điều kiện xác định:

-$x-1>0\implies x>1$.
-$x+1>0\implies x>-1$.
Vậy điều kiện xác định là $x>1$.

Bước 2: Gom logarit:

Áp dụng công thức$\log_a u + \log_a v = \log_a(uv)$, ta có:

$\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=3$

Bước 3: Chuyển thành phương trình đại số:

$(x-1)(x+1)=2^3=8$
$x^2-1=8$
$x^2=9$
$x= \pm 3$

Bước 4: Kiểm tra nghiệm:

Chỉ $x=3$thỏa mãn$x>1$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Dưới đây là các công thức logarit cơ bản:

$\log_a(xy)=\log_a x + \log_a y$

$\log_a\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)=\log_a x - \log_a y$

$\log_a(x^k)=k\,\log_a x$

Đổi cơ số:

$\log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Bài toán bất phương trình logarit: cần xét dấu của biểu thức logarit và chiều của bất đẳng thức khi đổi cơ số.
- Bài toán chứa tham số $m$: phải phân tích điều kiện xác định theo$m$và nghiệm phụ thuộc$m$.
- Hàm số logarit: phân tích tính đơn điệu, tiệm cận và đồ thị.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Ví dụ 1: Giải phương trình

$\log_3(2x+1)-\log_3(x-1)=2$

Lời giải:

- Điều kiện xác định:$2x+1>0\implies x>-\tfrac12$,$x-1>0\implies x>1$. Vậy$x>1$.
- Gom logarit:$\log_3\frac{2x+1}{x-1}=2$
- Chuyển đổi:$\tfrac{2x+1}{x-1}=3^2=9$
- Giải phương trình:$2x+1=9(x-1)\implies2x+1=9x-9\implies7x=10\implies x=\tfrac{10}{7}$
- Kiểm tra:$\tfrac{10}{7}>1$thỏa mãn.

Ví dụ 2: Giải phương trình

$\log(x^2-5x+6)=0$

Lời giải:

- Điều kiện xác định: $x^2-5x+6>0\implies(x-2)(x-3)>0\implies x<2$hoặc$x>3$.
- Chuyển thành: $x^2-5x+6=10^0=1 <br />- Giải:$x^2-5x+6-1=0\implies x^2-5x+5=0\implies x=\tfrac{5 \pm \sqrt5}{2}$<br />- Kiểm tra: nghiệm$x=\tfrac{5+\sqrt5}{2}>3$và$x=\tfrac{5-\sqrt5}{2}<2$ đều thỏa mãn.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Giải phương trình$\log_2(x^2-4)=3$
2. Giải phương trình$\log_5(3x+2)+\log_5(x-1)=1$
3. Giải bất phương trình$\log_3(x+2)>1$
4. Với tham số $m$, giải$\log_m(x+1)=2$, xác định$m$và $x$.
5. Nghiệm của phương trình$\log(x)+\log(2x-3)=1$là gì?

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn viết rõ điều kiện xác định trước khi biến đổi.
- Khi đổi cơ số $a<1$, bất phương trình đảo chiều.
- Chú ý dấu của biểu thức bên trong logarit.
- Kiểm tra lại nghiệm để loại trừ nghiệm ngoại biên.
- Sử dụng đúng các công thức logarit, tránh nhầm lẫn giữa cộng, nhân.