1. Giới thiệu về bài toán hàm số logarit và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một trong những nội dung quan trọng thuộc chương trình Toán lớp 11. Việc hiểu và vận dụng tốt các kiến thức về hàm số logarit không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập liên quan mà còn là nền tảng để học tốt các phần nâng cao như giải phương trình, bất phương trình logarit, ứng dụng vào thực tiễn cũng như các kỳ thi lớn. Nắm vững cách giải bài toán hàm số logarit sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi bước vào bài kiểm tra, thi cuối kỳ, thi học sinh giỏi hoặc ôn thi vào lớp 12, đại học.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số logarit

Các bài toán hàm số logarit phổ biến gồm:

• Xác định tập xác định của hàm số logarit.
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số logarit.
• Giải phương trình, bất phương trình logarit lấy hàm số làm trung tâm.
• Ứng dụng biến đổi, kết hợp các hàm số logarit và hàm số khác.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán logarit

Để giải hiệu quả các bài toán hàm số logarit, học sinh nên tuân theo các bước chiến lược sau:

• Luôn xác định tập xác định đầu tiên (điều kiện xác định của logarit).
• Biến đổi biểu thức logarit về dạng cơ bản nhất để dễ xử lý.
• Nắm vững các tính chất, công thức logarit để rút gọn, biến đổi.
• Sử dụng kết hợp với các kiến thức hàm số, phương trình mũ, bất phương trình.
• Chú ý kỹ điều kiện của bài toán (tập xác định, nghiệm nhận được phải thỏa mãn điều kiện logarit).

4. Các bước giải chi tiết và ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước kèm ví dụ cụ thể cho bài toán hàm số logarit:

Bước 1. Xác định tập xác định

Ví dụ: Cho hàm số

. Tìm tập xác định của hàm số.

Giải: Hàm số xác định khi$x-1 > 0 \implies x > 1$. Vậy tập xác định:$D = (1; +\infty)$.

Bước 2. Biến đổi, rút gọn biểu thức logarit (nếu cần)

Ví dụ:

Ta biến đổi:

Chú ý: Sau khi rút gọn, tập xác định là $x \neq 0$.

Bước 3. Áp dụng tính chất và các công thức logarit

Để biến đổi hoặc giải các bài toán dạng phương trình, bất phương trình, bạn cần áp dụng linh hoạt các công thức:

• $$\\log_a(MN) = \\log_a M + \\log_a N$$
• $$\\log_a\left( \frac{M}{N} \right) = \\log_a M - \\log_a N$$
• $$\\log_a(M^n) = n\\log_a M$$
• Đổi cơ số:
  $$\\log_a b = \frac{\\log_c b}{\\log_c a}$$

Bước 4. Giải quyết yêu cầu bài toán chính (tìm tập xác định, khảo sát, giải phương trình/bất phương trình, tìm giá trị)

Ví dụ: Giải phương trình

Giải:
Điều kiện:$3x-2 > 0 \implies x > \frac{2}{3}$
Ta có:

Giá trị này thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy nghiệm:$x = \frac{10}{3}$.

Bước 5. Đối chiếu nghiệm với tập xác định

Nghiệm tìm được phải thuộc tập xác định đã đặt ra ở bước đầu.
Nếu có nhiều nghiệm, loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn điều kiện logarit.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các công thức logarit quan trọng:

• $$\\log_a 1 = 0 \ (a > 0, a \neq 1)$$
• $$\\log_a a = 1 \ (a > 0, a \neq 1)$$
• $$\\log_a (A^n) = n\\log_a A$$
• $$\\log_a (AB) = \\log_a A + \\log_a B$$
• $$\\log_a \left( \frac{A}{B} \right) = \\log_a A - \\log_a B$$
• $$\\log_a b = \frac{\\log_c b}{\\log_c a}$$
  (Công thức đổi cơ số)

6. Các biến thể của bài toán hàm số logarit và điều chỉnh chiến lược

- Nếu là bài toán về khảo sát hàm số: Đặc biệt chú ý đến tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, đồ thị. Khi cần, biến đổi logarit về dạng đơn giản, so sánh với logarithm tự nhiên để dễ nhận biết hình dạng đồ thị.
- Nếu là giải phương trình, bất phương trình: Nên quy về cùng cơ số, sử dụng các phương pháp biến đổi căn bản, chuyển vế. Không quên điều kiện xác định ở từng bước.
- Nếu là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Xét miền xác định và sử dụng kiến thức đạo hàm nếu cần (phổ biến hơn ở lớp 12, nhưng lớp 11 cũng có thể dùng so sánh giá trị tại biên/tập xác định).

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Giải phương trình

Giải:
Điều kiện:$x-3 > 0 \rightarrow x > 3$;$x+1 > 0 \rightarrow x > -1$.
Kết hợp:$x > 3$

Biến đổi: \\log_2(x-3) + \\log_2(x+1) = \\log_2[(x-3)(x+1)] = 3
\Rightarrow (x-3)(x+1) = 2^3 = 8
\Rightarrow x^2 - 2x -3 = 8
\Rightarrow x^2 - 2x -11=0
\Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{12} = 1 \pm 2\sqrt{3}$

Do $x > 3 \rightarrow x = 1 + 2\sqrt{3}$(Vì $1-2\sqrt{3} <0$ loại)

Vậy nghiệm duy nhất: $x = 1 + 2\sqrt{3}$

Bài tập 2:

Tìm tập xác định của hàm số

Điều kiện:$2x-5 > 0 \rightarrow x > 2.5$;$7-x > 0 \rightarrow x < 7$
Vậy tập xác định:$D = (2.5; 7)$

8. Bài tập thực hành

1. Giải tập xác định của hàm số
   $$y = \\log_5(x^2-4)$$
   .
2. Giải phương trình
   $$\\log_3(x-2) = 2$$
   .
3. Tìm$x$thỏa mãn:
   $$\\log_2(x) + \\log_2(x-2) = 1$$
   .
4. Khảo sát và vẽ đồ thị
   $$y = \\log_2(x+1)$$
   .

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán logarit

• Luôn đặt điều kiện xác định, kiểm tra nghiệm trả về so với điều kiện này.
• Rút gọn biểu thức logarit đến mức đơn giản nhất trước khi giải phương trình/bất phương trình.
• Cố gắng quy hết về cùng một cơ số logarit để dễ biến đổi.
• Chú ý dấu giá trị tuyệt đối khi rút gọn
  $$\\log_a(x^2) = 2\\log_a|x|$$
  .
• Không quên loại nghiệm không thuộc tập xác định.
• Luyện tập nhiều dạng bài để nhận diện nhanh đặc điểm và hướng làm phù hợp.