1. Giới thiệu về bài toán Hàm số lượng giác và tầm quan trọng

Bài toán về hàm số lượng giác luôn nằm trong chương trình lớp 11 và chiếm vị trí quan trọng trong các kỳ thi. Việc thành thạo cách giải bài toán hàm số lượng giác không chỉ giúp củng cố kiến thức lý thuyết mà còn phát triển tư duy giải quyết bài toán tổng quát, là tiền đề để học tốt giải tích sau này. Dạng bài này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, tính tuần hoàn, nhận dạng tập xác định, xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và vẽ đồ thị hàm số lượng giác.

2. Đặc điểm của các bài toán về hàm số lượng giác

- Hàm số lượng giác thường gặp là $y = \tan x$,$y = \cot x$,$y = \sin x$,$y = \cos x$, cũng như các dạng hàm tổng hợp:$y = a \sin(b x + c) + d$.
- Các bài toán tập trung vào tìm tập xác định, xác định tính chẵn lẻ, tuần hoàn, chu kỳ, cực trị, và vẽ đồ thị.
- Nhiều bài còn kết hợp các yếu tố giải phương trình và bất phương trình lượng giác.
- Đồ thị hàm số lượng giác có hình dạng đặc biệt và biến thiên định kỳ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải thành công các dạng bài về hàm số lượng giác, cần tuân thủ quy trình từ tổng quát đến chi tiết như sau:

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - 1$. Hãy xác định:

Giải

- a) Tập xác định: Hàm $y = \sin ( x + \frac{\pi}{3} )$xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$.

- b) Chu kỳ: Chu kỳ của $\sin ( bx )$là $T = \frac{2\pi}{|b|}$. Ở đây $b = 1$, nên chu kỳ là $2\pi$.

- c) GTLN, GTNN: $\sin x$có giá trị lớn nhất là $1$, nhỏ nhất là $-1$. Do đó:

y lớn nhất =$2 \times 1 - 1 = 1$
y nhỏ nhất =$2 \times (-1) - 1 = -3$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Tập xác định các hàm số lượng giác:
+ $y = \tan x$: $x <br> \neq \frac{\pi}{2} + k \pi$với$k \in \mathbb{Z}$
+ $y = \cot x$: $x <br> \neq k \pi$với$k \in \mathbb{Z}$
+ $y = \sin x, y = \cos x$: $\forall x$.

- Chu kỳ:
+ $y = \sin (b x)$hoặc$y = \cos (b x)$: Chu kỳ $T = \frac{2\pi}{|b|}$
+ $y = \tan (b x)$hoặc$y = \cot (b x)$: Chu kỳ $T = \frac{\pi}{|b|}$

- Biến đổi công thức:
+ $a \sin (b x + c) + d$(hay$a \cos (b x + c) + d$):
- $a$(biên độ);$\frac{2\pi}{|b|}$(chu kỳ);$- \frac{c}{b}$(pha ban đầu);$d$(li độ)
+ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:$y_{Max} = a + d$, $y_{Min} = - a + d$

- Công thức chuyển đổi:
+ Công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc sử dụng linh hoạt khi rút gọn biểu thức.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho hàm số $y = 3 \cos \left(2x - \frac{\pi}{2} \right) + 2$. Hãy xác định:

Lời giải

- a)$y = \cos(2x - \frac{\pi}{2})$xác định với mọi$x$nên tâp xác định$\mathbb{R}$.

- b) Chu kỳ:$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

- c)$\cos x$lớn nhất là $1$và nhỏ nhất là $-1$nên:

Giá trị lớn nhất:$y_{max} = 3 \times 1 +2 = 5$
Giá trị nhỏ nhất:$y_{min} = 3 \times (-1) +2 = -1$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

- Bài 1: Cho hàm số $y = -2 \sin(3x)$.
a) Xác định tập xác định, chu kỳ
b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

- Bài 2: Cho hàm số $y = 4 \tan(x + \frac{\pi}{4})$.
a) Xác định tập xác định
b) Chu kỳ
c) Vẽ phác đồ thị hàm số trong một chu kỳ

- Bài 3: Hàm số $y = 2 \sin( x - \frac{\pi}{6}) + 1$ có GTLN và GTNN là bao nhiêu?

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn xác định đúng tập xác định đặc biệt với$\tan x$và $\cot x$.
- Thận trọng với dấu trừ trong biên độ, chuẩn hóa giá trị biên ($|a|$).
- Không nhầm lẫn giữa pha ban đầu và li độ.
- Xác định chu kỳ đúng, không quên giá trị tuyệt đối ở mẫu số.
- Khi vẽ đồ thị, phác đủ 1 chu kỳ và chú ý các điểm cực trị, giao trục.
- Thường xuyên kiểm tra lại kết quả và đơn vị.

Kết luận: Luyện tập thường xuyên, ghi nhớ công thức và rèn tư duy phân tích là chìa khóa để "chinh phục" các bài toán về hàm số lượng giác. Hiểu rõ chiến lược, kỹ thuật xử lý bài toán sẽ giúp bạn đạt điểm cao trong mọi kỳ thi!