Giới thiệu

Bài toán hàm số lũy thừa là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán 11, đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát, tính toán và ứng dụng các kiến thức về đạo hàm, giới hạn và đồ thị. Việc nắm vững cách giải bài toán Hàm số lũy thừa giúp học sinh tự tin trong các kỳ thi định kỳ, ôn luyện thi THPT Quốc gia và phát triển tư duy giải tích.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chiến lược tổng thể và các bước giải chi tiết, từ việc phân tích đặc điểm đến các biến thể thường gặp của hàm số lũy thừa.

1. Phân tích đặc điểm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng chung:

$f(x)=x^a$

trong đó $a$là một số thực cho trước. Đặc điểm chủ yếu:

- Đường cong đi qua điểm$(1,1)$nếu$a \neq 0$.

- Tính đơn điệu trên$(0,+\infty)$: tăng nếu$a>0$, giảm nếu$a<0$.

- Với$a$không nguyên, cần chú ý miền xác định thường là $(0,+\infty)$hoặc$(-\infty,0)$tuỳ bậc lũy thừa chẵn hay lẻ.

2. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Khi giải bài toán về hàm số lũy thừa, học sinh nên thực hiện theo các bước sau:

- Xác định miền xác định của hàm.

- Tính đạo hàm$f'(x)$ để khảo sát tính đơn điệu.

- Tính giới hạn khi$x\to0^+,\,x\to+\infty$ để hiểu xu hướng của đồ thị.

- Xác định tiệm cận ngang, đứng (nếu có).

- Vẽ đồ thị với các đặc điểm đã tìm được.

3. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

$f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x$

Bước 1: Xác định miền xác định

Miền xác định:$\mathcal{D}=\mathbb R$, vì $x^{\frac{2}{3}}$xác định với mọi$x \in \mathbb R$.

Bước 2: Tính đạo hàm

$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-1.$

Giải $f'(x)=0 \Rightarrow \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}=1 \Rightarrow x=\left(\tfrac{2}{3}\right)^3=\tfrac{8}{27}.$

Xét dấu$f'(x)$: trên$(-\infty,0)$và $(0,\tfrac{8}{27})$,$f'(x)<0$; trên$(\tfrac{8}{27},+\infty)$,$f'(x)>0$.

Bước 3: Giới hạn và tiệm cận

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,<br />\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,<br />\quad \lim_{x\to0}f(x)=0.$

Kết luận: Hàm số có một điểm cực tiểu tại$x=\tfrac{8}{27}$, giá trị $f\bigl(\tfrac{8}{27}\bigr)=\bigl(\tfrac{8}{27}\bigr)^{2/3}-\tfrac{8}{27}$.

Cuối cùng, vẽ đồ thị dựa trên các thông tin trên.

4. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

-$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

-$(x^a)^b = x^{ab}$

-$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$

-$\frac{d}{dx}x^a = a x^{a-1}$

5. Biến thể và điều chỉnh chiến lược

Các biến thể thường gặp:

- Hàm số hỗn hợp:$f(x)=x^a+bx^c$→ tách thành các thành phần lũy thừa riêng biệt.

- Bất phương trình lũy thừa: giải bất phương trình dạng$x^a>k$trên cơ số >0.

- Hàm số nghịch đảo: khảo sát$y=x^a$và $x=y^{1/a}$.

6. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát hàm số
$f(x)=x^{\frac{3}{2}}-2x.$

Lời giải tóm tắt:

1. Miền xác định:$\mathcal{D}=[0,+\infty)$.

2. Đạo hàm:$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2$; giải$f'(x)=0 \Rightarrow x=\tfrac{16}{9}$.

3. Khảo sát đơn điệu, giới hạn, vẽ đồ thị.

7. Bài tập thực hành

Hãy giải các bài tập sau:

1.$f(x)=x^{\frac{4}{3}}-3x$. 2.$f(x)=\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+x$.

8. Mẹo và lưu ý

- Luôn kiểm tra miền xác định trước khi tính đạo hàm.

- Chú ý dấu của cơ số khi làm giới hạn.

- Viết lại lũy thừa thành căn bậc nếu cần để dễ tính đạo hàm.

Chúc các em vận dụng chiến lược trên để giải tốt các bài toán hàm số lũy thừa!