Chiến lược giải quyết bài toán Khảo sát hàm số logarit lớp 11 – Từng bước chinh phục

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Khảo sát hàm số logarit là một trong những dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, thường liên quan đến hàm số dạng

hoặc những biến thể phức tạp hơn. Dạng bài này xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi giữa kỳ, cuối kỳ và đặc biệt là đề thi THPT quốc gia khối tự nhiên. Việc nắm chắc phương pháp giải là chìa khóa giúp bạn đạt điểm cao trong các bài kiểm tra – chỉ với phương pháp này, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập đặc thù.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Dấu hiệu đặc trưng: Đề bài thường có yêu cầu khảo sát, vẽ đồ thị hoặc xét tính đơn điệu, cực trị của hàm logarit.

- Từ khóa: “logarit”, “hàm số logarit”, “khảo sát”, “tính đồng biến, nghịch biến”, “cực trị”, “tiệm cận”, “đồ thị”.

- Phân biệt: Dạng này cần phân biệt với khảo sát hàm số mũ (cơ số e, hoặc$a^x$), thường dựa vào sự xuất hiện của

trong biểu thức.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức đạo hàm:$\left(\log_a{x}\right)' = \frac{1}{x \ln a}$.

- Điều kiện xác định:$mx + n > 0$với hàm số $\log_b{(mx+n)}$.

- Các dạng giới hạn, tiệm cận, cực trị, bảng biến thiên, cách xác định giao điểm với trục$Ox$,$Oy$.

- Mối liên hệ: Biết vận dụng kiến thức về đạo hàm, bất phương trình liên quan logarit và kỹ năng vẽ đồ thị cơ bản.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ yêu cầu: Xác định rõ đề bài yêu cầu khảo sát những yếu tố nào (miền xác định, đơn điệu, cực trị, tiệm cận…).

- Tìm dữ liệu: Xác định rõ các hằng số, hệ số, biểu thức logarit liên quan.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Lựa chọn phương pháp: Xác định sẽ khảo sát như thế nào (dùng đạo hàm, xét dấu, bảng biến thiên, vẽ đồ thị).

- Sắp xếp các bước: Ghi chú ngắn gọn thứ tự thực hiện (ví dụ: miền xác định → tiệm cận → đạo hàm → bảng biến thiên → kết luận).

- Dự đoán kết quả: Ước lượng sơ bộ kết quả để sau khi giải so sánh kiểm tra.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng lý thuyết và công thức đã học cho từng phần khảo sát.

- Tính toán chi tiết từng bước, ghi chú rõ ràng, tránh bỏ sót chi tiết.

- So sánh, kiểm tra tính hợp lý của kết quả bằng bảng biến thiên hoặc bằng đồ thị.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Tiến hành khảo sát lần lượt: Xác định miền xác định$D$, tìm các giới hạn để xác định tiệm cận, tính đạo hàm để lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị. Sau đó, vẽ đồ thị nháp.

- Ưu điểm: Dễ nắm bắt, phù hợp với bài ở mức cơ bản và trung bình.

- Hạn chế: Với biểu thức phức tạp, dễ mắc lỗi nếu không cẩn thận ở bước tính đạo hàm và xét dấu.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Sử dụng đạo hàm tích phân dạng tổng quát, phân tích số mũ phức tạp, biến đổi logarit thành cơ số e nếu cần.

- Áp dụng bảng giá trị nhanh, hoặc sử dụng mẹo nhận diện dấu hiệu đồng biến, nghịch biến dựa trên nhận dạng cấu trúc của hàm số.

- Đặc biệt chú ý: Nhớ công thức đạo hàm logarit dạng hợp, phân tích miền xác định bằng bất phương trình logarit.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm$y = \log_2(x-1)$.

Lời giải từng bước:

Bước 1: Miền xác định:$x - 1 > 0 \rightarrow x > 1$.

Bước 2: Tính đạo hàm:$y' = \frac{1}{(x-1) \ln 2}$. Do$x > 1, y' > 0 \Rightarrow$Hàm số đồng biến trên$(1; +\infty)$.

Bước 3: Tiệm cận: Khi$x \to 1^+$thì $y \to -\infty$. Khi$x \to +\infty$thì $y \to +\infty$.

Bước 4: Giao trục:

- Trục$Ox$:$y=0 \to x-1=1 \to x=2$; vậy đồ thị đi qua điểm$(2;0)$.

- Trục$Oy$: Không cắt do$x>1$.

Kết luận: Hàm xác định trên$(1;+\infty)$, đồng biến toàn miền xác định, có tiệm cận đứng$x=1$, không có điểm cực trị, đồ thị qua$(2,0)$.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Khảo sát hàm số $y = 2\log_3(x-2)-\log_3(x+1)$.

Cách giải 1: Đặt$y = 2\log_3(x-2)-\log_3(x+1) = \log_3((x-2)^2) - \log_3(x+1) = \log_3\left(\frac{(x-2)^2}{x+1}\right)$.

- Miền xác định:$x-2>0\to x>2$;$x+1>0\to x>-1 \rightarrow x>2$; vậy$x>2$.

- Đạo hàm:$y' = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2(x-2)(x+1)-(x-2)^2}{(x+1)((x-2)^2)} = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{x^2+4x-8}{(x+1)(x-2)^2}$.

- Giải tiếp: Lập bảng biến thiên, xét dấu tử để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, xác định các điểm cực trị.

Cách giải 2: Có thể giải trực tiếp từ dạng đầu, nhưng ưu điểm của cách 1 là rút gọn được biểu thức, thuận tiện xét dấu hơn.

So sánh: Cách biến đổi hợp lý giúp đơn giản quá trình khảo sát, dễ xét dấu đạo hàm hơn.

6. Các biến thể thường gặp

- Biểu thức logarit tổng hợp với nhiều logarit, hoặc có tham số, yêu cầu khảo sát biến thiên theo tham số.

- Dạng liên hệ giữa hàm số mũ và logarit.

- Khi gặp biến thể, ưu tiên biến đổi rút gọn biểu thức logarit, xét kỹ miền xác định có thể nằm ở hợp nhiều miền khác nhau.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Áp dụng nhầm công thức đạo hàm; xác định thiếu miền xác định; quên xét điều kiện$x >0$khi làm việc với logarit.

- Cách phòng tránh: Nhớ kiểm tra miền xác định trước khi bắt đầu, ghi chú rõ mỗi bước.

7.2 Lỗi về tính toán

- Thường nhầm âm dương khi lấy đạo hàm, nhầm lẫn các điểm loại trừ khỏi miền xác định.

- Cách kiểm tra: Lặp lại tính toán, so sánh đồ thị, kiểm soát dấu các biểu thức, chú ý làm tròn số khi cần thiết.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Khảo sát hàm số logarit miễn phí! Tại đây bạn được làm bài, xem đáp án chi tiết, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay và theo dõi tiến độ của mình, nâng cao kỹ năng từng ngày.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Lịch trình: Mỗi tuần nên luyện 10-15 bài thuộc nhiều cấp độ (cơ bản → nâng cao) và tổng kết lỗi hay gặp.

- Mục tiêu: Sau 4-6 tuần sẽ làm thành thạo mọi dạng bài logarit phổ thông.

- Đánh giá tiến độ: Ghi chú thành tích từng lần luyện, nhận diện các lỗi lặp lại để điều chỉnh.