Chiến lược giải bài toán Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau lớp 11

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán "Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" là một chủ đề quan trọng của hình học không gian trong chương trình Toán lớp 11. Đặc điểm nổi bật là hai đường thẳng đó không đồng phẳng, không song song và cũng không cắt nhau. Chủ đề này xuất hiện phổ biến trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và các đề thi THPT Quốc gia. Nắm vững cách giải dạng bài này giúp học sinh tự tin giải quyết nhiều bài toán hình học không gian nâng cao.

Hiện tại, bạn có thể luyện tập miễn phí với 100+ bài tập cách giải Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau miễn phí, giúp củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Hai đường thẳng nằm trong không gian, không cắt nhau và không song song.
• Trong đề bài xuất hiện các từ khóa như: chéo nhau, không giao nhau, không song song, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
• Dễ nhầm với dạng "khoảng cách giữa hai đường thẳng song song" hoặc "khoảng cách từ điểm đến đường thẳng"

2.2 Kiến thức cần thiết

• Hiểu và sử dụng thành thạo công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Các định lý về vectơ, tích có hướng, tích vô hướng.
• Kỹ năng xác định tọa độ điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ đề để xác định dữ kiện và yêu cầu.
• Nhận diện đúng hai đường thẳng chéo nhau và các yếu tố liên quan.
• Liệt kê các dữ liệu cho trước (tọa độ, các điểm, vectơ chỉ phương…)

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn phương pháp giải thích hợp (thường là sử dụng vectơ và tích có hướng).
• Xác định thứ tự các bước: xác định vectơ chỉ phương, vectơ nối 2 điểm, tính tích có hướng, áp dụng công thức tính khoảng cách.
• Dự đoán và kiểm tra tính hợp lý của kết quả.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng đúng công thức toán học với các số liệu đã xác định.
• Tính toán cẩn thận từng bước, chú ý đơn vị và kết quả trung gian.
• Kiểm tra lại đáp số và lý do hợp lý của kết quả.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Sử dụng công thức vectơ được xây dựng như sau:

Cho hai đường thẳng:

$$\Delta_1: \vec{r}_1 = \vec{a}_1 + t\vec{u}_1$$
\Delta_2: \vec{r}_2 = \vec{a}_2 + s\vec{u}_2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

$d = \frac{|[(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)]|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}$

• Ưu điểm: Rõ ràng, chính xác, dễ kiểm tra.
• Hạn chế: Phải biết rõ tọa độ các điểm/vectơ chỉ phương.
• Sử dụng cho hầu hết các bài toán cơ bản đến trung bình.

4.2 Phương pháp nâng cao

• Chọn hệ trục tọa độ đặc biệt để đơn giản hóa phép tính.
• Áp dụng kiến thức về mặt phẳng chứa một đường và song song với đường còn lại.
• Cách nhớ: Luôn nhớ tích có hướng giữa hai vectơ chỉ phương quyết định hướng vuông góc chung.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho hai đường thẳng:

$$\Delta_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}$$
\Delta_2: \frac{x}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-2}

Giải:

1. Lấy điểm$A(1,2,3)$thuộc$\Delta_1$, điểm$B(0,-1,1)$thuộc$\Delta_2$.
2. Vectơ chỉ phương:$\vec{u}_1 = (1,-1,2)$,$\vec{u}_2 = (2,1,-2)$.
3. Tính tích có hướng:$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = ((-1) \times (-2) - 2 \times 1, 2 \times 2 - 1 \times (-2), 1 \times 1 - (-1) \times 2) = (2-2,4+2,1+2) = (0,6,3)$
4. Tính $|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{0^2+6^2+3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
5. Tính$\vec{AB} = (0-1, -1-2, 1-3) = (-1, -3, -2)$
6. Tính$\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = (-1)\times 0 + (-3) \times 6 + (-2) \times 3 = 0 - 18 - 6 = -24$
7. Khoảng cách: $d = \frac{| -24 |}{3\sqrt{5}} = \frac{24}{3\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$

Lý do: Mỗi bước đều tuân theo đúng công thức và thao tác hình học vectơ.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho hai đường thẳng trong không gian được xác định qua cách chỉ mặt phẳng và giao tuyến, yêu cầu tìm khoảng cách giữa chúng khi một đường là giao tuyến của hai mặt phẳng. Hoặc bài toán cho dạng thông số phức tạp hơn.

• Có thể giải bằng máy tính, hoặc chuyển hệ tọa độ, hoặc dùng phương pháp hình học thuần túy như dựng mặt phẳng chứa một đường và song song với đường còn lại.
• So sánh: phương pháp vectơ vẫn ưu việt về độ chính xác và tổng quát.

6. Các biến thể thường gặp

• Trường hợp hai đường song song: áp dụng công thức rút gọn.
• Khoảng cách từ điểm đến đường rồi tổng hợp thành khoảng cách giữa hai đường.
• Dạng bài yêu cầu dựng hình phụ để đưa về dạng đã học.

Mẹo: Phân biệt rõ dấu hiệu hai đường thẳng chéo nhau để tránh nhầm dạng!

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn với khoảng cách hai đường song song.
• Sử dụng sai công thức vectơ hoặc xác định sai vectơ chỉ phương.
• Cách khắc phục: kiểm tra kỹ dấu hiệu đường thẳng chéo nhau, nên vẽ hình minh họa.

7.2 Lỗi về tính toán

• Sai công thức tích có hướng hoặc làm tròn số quá sớm.
• Nhầm dấu trong các phép cộng, trừ vectơ.
• Biện pháp: kiểm tra lại từng bước, sử dụng máy tính kiểm tra kết quả.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập cách giải Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau miễn phí, không cần đăng ký. Bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ, đánh giá và cải thiện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

1. Tuần 1: Ôn lại lý thuyết và công thức về vectơ trong không gian.
2. Tuần 2: Giải bài tập cơ bản và các biến thể thường gặp.
3. Tuần 3: Luyện tập các bài toán nâng cao, kiểm tra kết quả.
4. Đánh giá tiến độ: kiểm tra lại các lỗi đã mắc phải, cải thiện tốc độ và độ chính xác.