Blog

Lớp 11

Chiến lược giải bài toán Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau lớp 11

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một dạng đặc trưng trong chương trình hình học không gian lớp 11. Đặc điểm nổi bật là hai đường thẳng không cắt nhau và không song song (chúng nằm trên hai mặt phẳng khác nhau). Dạng bài này xuất hiện khá thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ cũng như đề thi thử THPT Quốc gia. Việc nắm vững cách giải giúp học sinh dễ dàng ghi điểm trong phần hình học không gian, đồng thời phát triển tư duy hình học không gian. Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập mẫu để thành thạo kỹ năng giải dạng toán này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • Đề bài thường cho hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng, không cắt nhau và không song song.
  • Từ khóa nên chú ý: "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau", "tìm khoảng cách", "tâm đường vuông góc chung", "không giao nhau, không song song".
  • Phân biệt với dạng khoảng cách từ một điểm đến một đường/thẳng hoặc từ điểm đến mặt phẳng.

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

  • Hiểu định nghĩa đường thẳng chéo nhau.
  • Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
    d=∣(a⃗×b⃗)⋅AB⃗∣∣a⃗×b⃗∣d = \frac{| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{AB} |}{| \vec{a} \times \vec{b} |}
    Trong đó,a⃗\vec{a}và b⃗\vec{b}là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng,AB⃗\vec{AB}là vectơ nối giữa một điểm trênd1d_1với một điểm trênd2d_2.
  • Kỹ năng xác định phương trình đường thẳng, điểm thuộc đường; tính tích vô hướng, tích có hướng.
  • Liên hệ với các chủ đề: hệ tọa độ Oxyz, hình học không gian tổng quát, vectơ trong không gian.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Đọc kỹ đề, chú ý các thông tin về phương trình đường thẳng, điểm đặc biệt.
  • Xác định rõ yêu cầu: tính khoảng cách, xác định tâm đường vuông góc chung, hoặc vị trí tương đối.
  • Tìm dữ liệu cho sẵn: tọa độ điểm, vectơ chỉ phương, phương trình, điểm thuộc đường.

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Chọn phương pháp: sử dụng vectơ, mặt phẳng chứa đường vuông góc chung hoặc dựng hình.
  • Sắp xếp thứ tự thực hiện: xác định vectơ chỉ phương, chọn hai điểm, viết vectơ nối.
  • Dự đoán kết quả: khoảng cách là số dương nhỏ nhất, kiểm tra sơ bộ bằng hình vẽ nếu cần.

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Áp dụng công thức tính khoảng cách, thực hiện tuần tự các phép toán.
  • Từng bước tính toán rõ ràng, kiểm tra lại kết quả từng bước.
  • Phân tích và kiểm nghiệm lại bằng cách suy luận logic hoặc hình vẽ.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • Phương pháp vectơ: Sử dụng công thức tích có hướng và tích vô hướng để tìm khoảng cách.
  • Ưu điểm: Phổ biến, dễ áp dụng khi đã có phương trình tham số.
  • Hạn chế: Dễ nhầm lẫn thứ tự vectơ, cần tính toán cẩn thận.
  • Áp dụng khi đề đã cho đầy đủ phương trình hoặc có thể xác định chính xác vectơ chỉ phương và điểm.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • Giải nhanh bằng hình học không gian: Tìm đường vuông góc chung, xác định trực tiếp hai điểm gần nhất.
  • Tối ưu hóa tính toán: Tận dụng đối xứng, xác định linh hoạt hoán vị điểm/vectơ để rút ngắn phép toán.
  • Mẹo: Luôn kiểm traa⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}có khác0⃗\vec{0}không để kết luận hai đường có chéo nhau hay không.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

  • Đề bài: Cho hai đường thẳngd1d_1và d2d_2trong không gian với phương trình tham số:
    d1:{x=1+ty=2−tz=3+2td_1: \begin{cases} x = 1 + t \\y = 2 - t \\z = 3 + 2t \\\end{cases}

    d2:{x=2+sy=3+2sz=1−sd_2: \begin{cases} x = 2 + s \\y = 3 + 2s \\z = 1 - s \\\end{cases}
  • Yêu cầu: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
  • Phân tích: Vectơ chỉ phương củad1d_1là a⃗=(1,−1,2)\vec{a} = (1, -1, 2), củad2d_2là b⃗=(1,2,−1)\vec{b} = (1, 2, -1). Chọn điểmA(1,2,3)∈d1A(1, 2, 3) \in d_1và B(2,3,1)∈d2B(2, 3, 1) \in d_2, ta có AB⃗=(1,1,−2)\vec{AB} = (1, 1, -2).
  • Tính tích có hướng:a⃗×b⃗=((−1)⋅(−1)−2⋅2,2⋅1−1⋅(−1),1⋅2−(−1)⋅1)=(−3,3,3)\vec{a} \times \vec{b} = ((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = (-3, 3, 3)
  • Tính độ dài: ∣a⃗×b⃗∣=(−3)2+32+32=27=33|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
  • Tính tích vô hướng:AB⃗⋅(a⃗×b⃗)=1⋅(−3)+1⋅3+(−2)⋅3=−3+3−6=−6\vec{AB} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 3 = -3 + 3 -6 = -6
  • Kết luận: d=∣−6∣33=23d = \frac{| -6 |}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}
  • Giải thích: Mỗi bước tương ứng với từng thành phần của công thức tổng quát và đảm bảo tính chính xác.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

  • Đề bài: Trong không gian Oxyz, chod1:x−12=y−1=z1d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1}và d2:x−21=y−12=z+1−2d_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-2}.
    Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng hai phương pháp: vectơ và mặt phẳng chứa đường vuông góc chung.
  • So sánh: Phương pháp vectơ ngắn gọn và tính toán nhanh hơn, phương pháp mặt phẳng vuông góc chung phù hợp nếu cần dựng hình hoặc đề bài liên quan nhiều dữ kiện hơn.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • Tìm tọa độ hai điểm gần nhất trênd1d_1và d2d_2; xác định đường vuông góc chung.
  • Dạng bài kết hợp: Khoảng cách đường-thẳng với mặt-phẳng, chuyển đổi giữa các dạng hình học.
  • Mẹo điều chỉnh: Luôn kiểm tra điều kiện chéo nhau bằng tích có hướnga⃗×b⃗≠0⃗\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{0}.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Nhầm lẫn loại bài (tưởng là giao nhau, song song hoặc chéo nhau).
  • Áp dụng công thức cho hai đường cùng mặt phẳng (dùng sai loại khoảng cách).
  • Khắc phục: Luôn vẽ nhanh hình minh họa và kiểm tra điều kiện chéo nhau.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Lỗi tính tích có hướng, nhầm thứ tự hoặc dấu.
  • Lỗi làm tròn kết quả chưa đúng, nhầm lẫn modul giá trị.
  • Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào các bước ngược lại, nháp lại một phép tính quan trọng.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập cách giải Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán từng ngày!

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Lập lịch học liền 3 buổi/tuần, mỗi buổi 20-30 phút luyện chuyên từng dạng bài nhỏ.
  • Đặt mục tiêu rõ ràng: Làm đúng ít nhất 90% bài tập cơ bản, thử sức với nâng cao sau 2 tuần.
  • Đánh giá tiến bộ mỗi cuối tuần: rà soát lỗi thường mắc và hoàn thiện phần còn yếu.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".