1. Giới thiệu về bài toán mẫu số liệu ghép nhóm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 11, chủ đề 'Mẫu số liệu ghép nhóm' thuộc phần Thống kê và xác suất là một nội dung quan trọng. Dạng toán này giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, tổ chức và xử lý số liệu khi các giá trị được trình bày gộp thành các nhóm (lớp), cho thấy ý nghĩa thực tiễn trong việc tổng hợp thông tin phức tạp. Kỹ năng giải bài toán mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ cần thiết cho học sinh lớp 11 mà còn rất hữu ích trong các kỳ thi THPT Quốc gia hay ứng dụng trong phân tích các dữ liệu thực tế.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán mẫu số liệu ghép nhóm

• Số liệu được chia thành các nhóm (lớp) liên tiếp, mỗi nhóm thể hiện một khoảng giá trị – thường ở dạng bảng thống kê.

• Mỗi nhóm sẽ có một tần số (số lượng phần tử thuộc nhóm đó).

• Yêu cầu đề bài thường là tính các đặc trưng tiêu biểu của mẫu số liệu như: số trung bình cộng, trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn,...

• Đôi khi phải vẽ bảng tần số, bảng tần suất hoặc lập biểu đồ tương ứng.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả các bài toán về mẫu số liệu ghép nhóm, cần tuân thủ các bước căn bản sau:

• Bước 1: Vẽ lại bảng số liệu, xác định trung điểm từng nhóm.
• Bước 2: Thiết lập các thông số cần tính (trung bình, trung vị, phương sai,...) theo công thức áp dụng cho dữ liệu ghép nhóm.
• Bước 3: Thực hiện các phép tính với dữ liệu đã chuẩn hóa (thường qua trung điểm nhóm).
• Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và lý giải ý nghĩa kết quả trong thực tế (nếu được yêu cầu).

4. Các bước giải quyết chi tiết và ví dụ minh họa

Giả sử bảng số liệu sau thể hiện điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh:

| Lớp điểm | Số học sinh |

| 3 – 5 | 8 |

| 5 – 7 | 20 |

| 7 – 9 | 15 |

| 9 – 10 | 7 |

Nhiệm vụ: Tính điểm trung bình cộng của lớp

• Bước 1: Tìm trung điểm mỗi nhóm: Trung điểm$x_i$của nhóm là $(cận~dưới + cận~trên)/2$.
• Nhóm 3 – 5:$x_1 = (3+5)/2 = 4$
• Nhóm 5 – 7:$x_2 = (5+7)/2 = 6$
• Nhóm 7 – 9:$x_3 = (7+9)/2 = 8$
• Nhóm 9 – 10:$x_4 = (9+10)/2 = 9.5$

Bước 2: Nhân trung điểm với tần số (số học sinh) rồi cộng lại:

Tổng số điểm =$4 \times 8 + 6 \times 20 + 8 \times 15 + 9.5 \times 7$

$= 32 + 120 + 120 + 66.5 = 338.5$

Điểm trung bình cộng$= \dfrac{338.5}{50} = 6.77$

Kết luận: Điểm trung bình kiểm tra Toán của lớp là $6.77$.

5. Công thức cần nhớ và các kỹ thuật giải bài mẫu số liệu ghép nhóm

- Số trung bình cộng:

$\overline{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}$

$f_i$là tần số nhóm$i$,$x_i$là trung điểm của nhóm$i$.

- Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm:

$s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i}$

- Độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{s^2}$

- Trung vị mẫu số liệu ghép nhóm (xấp xỉ):

Nếu có $N$giá trị và nhóm chứa trung vị là nhóm$j$, thì:

$Me \approx L + \dfrac{\dfrac{N}{2} - F_{trc}}{f_j} \times d$

với:

• $L$: Cận dưới lớp trung vị
• $F_{trc}$: Tần số tích lũy nhóm trước nhóm trung vị
• $f_j$: Tần số nhóm trung vị
• $d$: Độ rộng lớp

6. Biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Dữ liệu không đều lớp: Nếu độ rộng của các nhóm khác nhau, phải tính chính xác trung điểm và độ rộng từng nhóm trước khi áp dụng công thức.

- Dữ liệu thiếu lớp: Nếu thiếu số liệu của một vài lớp, cố gắng suy luận hoặc liên hệ thực tế để bổ sung hoặc chỉ tính với dữ liệu có sẵn.

- Bài toán kết hợp: Đề có thể yêu cầu thêm biểu đồ, bảng tần số, hoặc liên hệ ý nghĩa số liệu trong thực tiễn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Một xưởng kiểm tra chiều dài 40 sản phẩm, kết quả chép lại ở bảng sau:

| Chiều dài (cm) | Số sản phẩm |

| 10 – 12 | 6 |

| 12 – 14 | 14 |

| 14 – 16 | 11 |

| 16 – 18 | 9 |

Hãy tính chiều dài trung bình sản phẩm

Giải:

• Xác định trung điểm các nhóm:
• + 10 – 12:$x_1 = (10+12)/2 = 11$
• + 12 – 14:$x_2 = (12+14)/2 = 13$
• + 14 – 16:$x_3 = (14+16)/2 = 15$
• + 16 – 18:$x_4 = (16+18)/2 = 17$

Tính tổng $\sum f_i x_i = 6 \times 11 + 14 \times 13 + 11 \times 15 + 9 \times 17 = 66 + 182 + 165 + 153 = 566$

Chiều dài trung bình:$\overline{x} = 566 / 40 = 14.15~cm$

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Một lớp kiểm tra môn Hóa có kết quả điểm nhóm như sau:

| Điểm số | Số học sinh |

| 1 – 3 | 3 |

| 3 – 6 | 10 |

| 6 – 8 | 12 |

| 8 – 10 | 5 |

Hãy tính điểm trung bình cộng của lớp.

Bài 2: Một công ty khảo sát thu nhập (triệu đồng/tháng) của nhân viên qua bảng sau:

| Mức thu nhập | Số nhân viên |

| 5 – 7 | 4 |

| 7 – 10 | 12 |

| 10 – 15 | 20 |

| 15 – 20 | 8 |

Tính thu nhập trung bình của nhân viên công ty.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn kiểm tra tổng tần số phải khớp tổng dữ liệu đã cho.
• Tính trung điểm cẩn thận, đặc biệt với lớp không đều độ rộng.
• Không nhầm lẫn cận dưới – cận trên khi tính trung điểm.
• Hiểu rõ từng ký hiệu trong công thức để áp dụng đúng.
• Viết rõ ràng các bước, tránh nhảy bước hoặc viết gộp nhiều phép tính dễ dẫn tới sai sót.

Kết luận

Trên đây là hướng dẫn chi tiết về cách giải bài toán mẫu số liệu ghép nhóm. Học sinh cần thực hành thường xuyên để nắm vững kỹ thuật tính trung bình, phương sai, trung vị mẫu số liệu ghép nhóm cũng như làm quen với các biến thể bài toán thực tế. Chúc các bạn học tốt!