1. Giới thiệu về bài toán mô hình sử dụng hàm mũ và lôgarit

Trong chương trình Toán lớp 11, các bài toán liên quan đến mô hình sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit thường mô phỏng các hiện tượng thực tiễn như tăng trưởng dân số, sự phân rã phóng xạ, lãi suất ngân hàng, làm nguội vật thể,... Việc biếtcách giải bài toán mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgaritgiúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức Toán học mà còn tăng khả năng vận dụng Toán vào đời sống, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng phân tích vấn đề.

2. Đặc điểm của bài toán mô hình mũ và lôgarit

Dạng bài này thường có các đặc điểm sau:

• Liên quan tới sự biến thiên theo thời gian (tăng trưởng, phân rã, lãi kép,...)
• Sử dụng công thức có dạng$y = a imes b^{kt}$hoặc$y = a imes e^{kt}$với$y$là đại lượng biến thiên,$a$là giá trị ban đầu,$k$là hệ số tỉ lệ,$t$là thời gian.
• Cần biến đổi, giải hoặc tìm tham số trong hàm mũ via lôgarit (ví dụ lấy$ext{ln}$hai vế, hoặc logarit hóa phương trình)

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Phân tích bài toán: Xác định đại lượng, yêu cầu đề bài. Xem đâu là giá trị ban đầu, đâu là biến thiên, đâu là thời gian, tỷ lệ, lãi suất, hằng số phân rã,…
• Lựa chọn mô hình toán học: Xem bài toán nên sử dụng dạng mũ hay lôgarit. Với tăng trưởng/giảm liên tục dùng công thức hàm mũ. Khi cần tìm thời gian, tìm hệ số - có thể cần logarit hóa.
• Biến đổi phương trình: Dùng các phép biến đổi lôgarit, đưa về dạng cần thiết để dễ giải.
• Tính toán tham số: Giải phương trình tìm ẩn hoặc tham số cần tìm.
• Diễn giải kết quả: Đảm bảo kết quả trả lời đúng ngữ cảnh thực tế của bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một loại vi khuẩn có số lượng ban đầu$1000$con vi khuẩn, số lượng vi khuẩn tăng lên theo công thức$N(t) = 1000 \times 2^{0,5t}$(số vi khuẩn sau$t$giờ). Tính số vi khuẩn sau 4 giờ. Sau bao lâu số vi khuẩn đạt 8000 con?

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xác định mô hình và các tham số:

Ta có:$N(t) = 1000 \times 2^{0,5t}$. Ở đây:

• $N(0) = 1000$(giá trị ban đầu)
• $b = 2$(tỷ lệ, do tăng lên gấp đôi theo một khoảng thời gian nhất định)
• $k = 0,5$(hệ số phụ thuộc vào đơn vị thời gian, mỗi giờ tăng theo$2^{0,5}$lần)

Bước 2: Thay số để tìm số vi khuẩn sau 4 giờ:

Ta có $N(4) = 1000 \times 2^{0,5 \times 4} = 1000 \times 2^2 = 1000 \times 4 = 4000$(con vi khuẩn).

Bước 3: Tìm thời gian để số vi khuẩn đạt$8000$con:

$N(t) = 8000 \Rightarrow 1000 \times 2^{0,5t} = 8000 \Rightarrow 2^{0,5t} = 8$

Ta nhận thấy$8 = 2^3 \Rightarrow 2^{0,5t} = 2^3 \Rightarrow 0,5t = 3 \Rightarrow t = 6$.Sau$6$giờ số vi khuẩn đạt$8000$con.

Bài toán mô hình sử dụng hàm mũ thường được giải bằng cách nhận dạng dạng tổng quát, thay số, dùng lôgarit hoặc nhận ra mối liên hệ đơn giản giữa các lũy thừa.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức hàm mũ tổng quát:$y = y_0 imes b^{kt}$, phổ biến nhất là $y = y_0 imes e^{kt}$
• Nếu là phân rã/phân hủy thì $k < 0$, nếu tăng trưởng thì $k > 0$
• Để tìm thời gian hoặc tìm hằng số, chuyển sang hàm lôgarit:

Từ $y = y_0 imes e^{kt}$, muốn tìm$t$ta lấy:

$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{y}{y_0} \right)$

• Quy tắc tính lôgarit cơ bản:$\ln{a^x} = x\ln a$,$\ln(ab) = \ln a + \ln b$,$\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b$
• Các công thức chuyển đổi giữa lôgarit và mũ:$a^x = e^{x\ln a}$,$e^{\ln x} = x$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Phân rã phóng xạ:$N(t) = N_0 e^{-kt}$, thường hỏi: Sau bao lâu còn một nửa lượng chất ban đầu (Tìm thời gian bán rã)?
• Lãi kép:$A = A_0(1 + r)^n$với$n$là số giai đoạn, hoặc$A = A_0 e^{rt}$với lãi kép liên tục.
• Làm nguội vật thể (định luật Newton):$T(t) = T_0 + (T_i - T_0)e^{-kt}$

Cách điều chỉnh:

• Luôn xác định đúng công thức mô hình phù hợp bản chất vật lý/nghiệm vụ của bài toán.
• Khi tìm thời gian/ẩn cần nằm trong lũy thừa, sử dụng lôgarit để đưa ẩn xuống.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài toán: Một chất độc có số lượng ban đầu là $100$g, sau mỗi giờ lượng chất đó còn lại$80\%$lượng so với trước. Tính:

• a) Số lượng chất còn lại sau$5$giờ
• b) Sau bao lâu lượng chất giảm còn$10$g

Giải:

Gọi$A(t)$là lượng chất sau$t$giờ. Ta có:$A(t) = 100 \times 0,8^t$, vì cứ mỗi giờ chỉ còn lại$80\%$.

a) Thay$t = 5$,$A(5) = 100 \times 0,8^5 = 100 \times 0,32768 = 32,768 (g)$

b)$A(t) = 10 \Rightarrow 100 \times 0,8^t = 10 \Rightarrow 0,8^t = 0,1$

Lấy$\ln$hai vế:$\ln 0,8^t = \ln 0,1 \Rightarrow t\ln 0,8 = \ln 0,1$

$t = \dfrac{\ln 0,1}{\ln 0,8} \approx \dfrac{-2,3026}{-0,2231} \approx 10,32$

Vậy sau khoảng$10,32$giờ thì lượng chất còn lại là $10$g.

8. Bài tập thực hành

Tự luyện tập các bài sau:

1. Một khoản tiền$5.000.000$ đồng được gửi vào ngân hàng với lãi suất$8\%$/năm, lãi kép hàng năm. Tính số tiền nhận được sau$5$năm.
2. Một mẫu chất phóng xạ có khối lượng ban đầu$50$g, sau$T$năm còn lại một nửa. Hỏi sau bao lâu chất phóng xạ chỉ còn$1$g.
3. Nhiệt độ một vật đang làm nguội tuân theo công thức$T(t) = 25 + 75e^{-0,2t}$(độ C), với$t$là thời gian tính bằng phút. Hỏi sau bao lâu nhiệt độ còn$30$ độ C.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra đơn vị của thời gian, nếu$k$phụ thuộc vào đơn vị thì cần đổi thời gian trước khi tính.
• Chú ý dùng đúng loại lôgarit (log hoặc ln), kiểm tra máy tính trước khi nhập.
• Không làm tròn số quá sớm trong các bước trung gian, tránh sai số.
• Luôn trình bày rõ bước lấy lôgarit nếu cần giải phương trình hàm mũ/lôgarit.
• Nếu không chắc chắn về dạng hàm số, kiểm tra lại bằng cách thử thế các giá trị quen thuộc.

Các bài toán mô hình sử dụng hàm mũ và lôgarit là nền tảng quan trọng cho nhiều phần toán học ứng dụng, đồng thời giúp học sinh vận dụng toán vào đời sống một cách hiệu quả. Ghi nhớ chiến lược tổng thể khi giải, luyện tập nhiều dạng biến thể và chú ý các mẹo sẽ giúp bạn thành công với bất kỳ dạng toán nào!