Blog

Lớp 11

Chiến lược giải bài toán Phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng lớp 11 hiệu quả

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng là dạng điển hình trong hình học không gian lớp 11, thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra, đề thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia. Dạng này yêu cầu học sinh xác định hình chiếu vuông góc của một điểm, đoạn thẳng lên một mặt phẳng cho trước. Việc thành thạo phép chiếu giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ vuông góc, khoảng cách và giải quyết nhanh các dạng bài khác trong CHƯƠNG VII. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập với hơn 42.226+ bài tập phép chiếu vuông góc hoàn toàn miễn phí để nâng cao kỹ năng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

### 2.1 Nhận biết dạng bài

  • - Đề cập “phép chiếu vuông góc”, “hình chiếu vuông góc”, hoặc hỏi xác định hình chiếu hay khoảng cách từ điểm (hoặc đoạn thẳng) đến mặt phẳng.- Các từ khóa “vuông góc”, “mặt phẳng (P)”, “trong không gian”, “hình chiếu của A lên (P)”...- Phân biệt với các bài toán tìm giao tuyến, song song nhờ vào yêu cầu xác định hình chiếu hoặc đường vuông góc.

    • ### 2.2 Kiến thức cần thiết

  • - Sử dụng công thức hình chiếu vuông góc: NếuAAnằm ngoài mặt phẳng(P)(P), hình chiếu vuông gócA′A'củaAAlên(P)(P)là điểm giao của đường thẳng đi quaAA, vuông góc với(P)(P), với(P)(P).- Định lý ba đường vuông góc, hai đường vuông góc, tính chất hình chiếu vuông góc.- Kỹ năng dựng hình, đọc kỹ giả thiết, sử dụng vector trong không gian.- Liên hệ bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    #### 3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • - Đọc kỹ yêu cầu, xác định đối tượng cần chiếu (điểm nào, đoạn thẳng nào, lên mặt phẳng nào).- Gạch chân các từ khóa “chiếu vuông góc”, “khoảng cách”, “giao điểm”,…- Xác định dữ kiện cho sẵn về tọa độ, vector pháp tuyến, vị trí các điểm, các mặt.

    • #### 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • - Quyết định nên sử dụng hình học không gian thuần túy hay hệ tọa độ không gian.- Sắp xếp thứ tự: dựng đường vuông góc, xác định giao điểm, kiểm tra quan hệ vuông góc.- Dự đoán hình dạng kết quả, kiểm tra tính hợp lý.

    • #### 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • - Dùng công thức, phương pháp đã chọn để tìm hình chiếu hoặc khoảng cách.- Thực hiện phép biến đổi toán học cẩn thận từng bước.- Đối chiếu kết quả với dự đoán, có thể kiểm tra lại bằng vẽ hình minh họa.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    #### 4.1 Phương pháp cơ bản

  • - Tiếp cận truyền thống: Dựng các đường vuông góc rõ ràng trong hình học, xác định giao điểm bằng các định lý cơ bản.- Ưu điểm: Đơn giản, trực quan, dễ kiểm soát sai sót.- Nhược điểm: Đôi khi dài dòng, khó triển khai cho bài toán phức tạp vector.- Nên dùng khi bài toán cho hình học thuần túy, dữ kiện rõ ràng.

    • #### 4.2 Phương pháp nâng cao

  • - Dùng phương pháp tọa độ hóa: Gán tọa độ cho các điểm, sử dụng vector pháp tuyến, áp dụng công thức hình chiếu- Tính nhanh bằng công thức hình chiếu điểmM(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)lên mặt phẳng(Ax+By+Cz+D=0)(Ax+By+Cz+D=0):M′(x0−A(Ax0+By0+Cz0+D)A2+B2+C2,  y0−B(Ax0+By0+Cz0+D)A2+B2+C2,  z0−C(Ax0+By0+Cz0+D)A2+B2+C2)M'\left(x_0 - \dfrac{A(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}, \; y_0 - \dfrac{B(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2},\; z_0 - \dfrac{C(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}\right)- Mẹo: Nhớ công thức chiếu cho tọa độ, áp dụng cho mọi tình huống bài toán dạng vector.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    #### 5.1 Bài tập cơ bản

  • - Đề bài: Cho điểmA(1,2,3)A(1,2,3), cho mặt phẳng(P):x+y+z−6=0(P): x+y+z-6=0. Tìm hình chiếu vuông gócA′A'củaAAlên(P)(P).- Giải:

    Áp dụng công thức hình chiếu vuông góc:

    A′(1−1(1+2+3−6)12+12+12,  2−1(1+2+3−6)3,  3−1(1+2+3−6)3)=A′(1,2,3)A'\left(1 - \frac{1(1+2+3-6)}{1^2+1^2+1^2}, \; 2 - \frac{1(1+2+3-6)}{3}, \; 3 - \frac{1(1+2+3-6)}{3} \right)=A'(1,2,3)

    Tính toán:1+2+3−6=01+2+3-6=0, vậyA′=A(1,2,3)A'=A(1,2,3). Điều này có nghĩa là điểmAA đã nằm trên mặt phẳng(P)(P).- Giải thích: Kiểm tra lại, nếu phép chiếu trùng với điểm gốc, điều này có nghĩaAAthuộc(P)(P)ngay từ đầu.

    • #### 5.2 Bài tập nâng cao

  • - Đề bài: Cho hai điểmA(1,2,0)A(1,2,0)và B(4,3,1)B(4,3,1). Tìm hình chiếu vuông góc của đoạn thẳngABABlên mặt phẳng(P):2x−y+2z−1=0(P): 2x-y+2z-1=0.- Giải:

    Áp dụng công thức với từng điểm:

    TínhA′A':

    kA=2⋅1−1⋅2+2⋅0−1=2−2+0−1=−1k_A=2 \cdot 1-1 \cdot 2+2 \cdot 0-1=2-2+0-1=-1

    A′(1−2⋅(−1)9,2−(−1)⋅(−1)9,0−2⋅(−1)9)=(1+29,2−19,0+29)A'\left(1-\dfrac{2 \cdot (-1)}{9},2-\dfrac{(-1) \cdot (-1)}{9},0-\dfrac{2 \cdot (-1)}{9}\right)=\left(1+\dfrac{2}{9},2-\dfrac{1}{9},0+\dfrac{2}{9}\right)

    Tương tự vớiB(4,3,1)B(4,3,1):

    kB=2⋅4−1⋅3+2⋅1−1=8−3+2−1=6k_B=2 \cdot 4-1 \cdot 3+2 \cdot 1-1=8-3+2-1=6

    B′(4−2⋅69,3−(−1)⋅69,1−2⋅69)=(4−129,3+69,1−129)B'\left(4-\dfrac{2 \cdot 6}{9},3-\dfrac{(-1) \cdot 6}{9},1-\dfrac{2 \cdot 6}{9}\right)=\left(4-\dfrac{12}{9},3+\dfrac{6}{9},1-\dfrac{12}{9}\right)

    =(24−129,27+69,9−129)=(129,339,−39)=\left(\dfrac{24-12}{9},\dfrac{27+6}{9},\dfrac{9-12}{9}\right)=\left(\dfrac{12}{9},\dfrac{33}{9},-\dfrac{3}{9}\right)

    - Vậy đoạnA′B′A'B'là hình chiếu củaABABlên(P)(P).

    - So sánh: Cách này ngắn gọn, áp dụng công thức rất hiệu quả.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • - Bài toán tìm hình chiếu trên trục, trên đường thẳng (không phải mặt phẳng).- Yêu cầu xác định độ dài (khoảng cách) của hình chiếu hoặc xác định diện tích tam giác, hình chữ nhật từ hình chiếu.- Kết hợp với bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.- Chiếu vuông góc trong hình lăng trụ, hình chóp (đặc biệt hữu ích trong các bài toán hình học không gian tổng hợp).

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    ### 7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Nhầm lẫn giữa hình chiếu vuông góc và hình chiếu song song.- Áp dụng sai công thức hình chiếu, thiếu điều kiện vuông góc.- Khắc phục: Luyện tập nhiều, ghi nhớ công thức đúng, kiểm tra hướng vector pháp tuyến.

    • ### 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Lỗi khi tính toán biểu thức, quên dấu hoặc làm tròn chưa hợp lý.- Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào đề bài gốc để xác minh tính đúng đắn.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Tham gia luyện tập với hơn 42.226+ bài tập cách giải Phép chiếu vuông góc của điểm, đoạn thẳng lên mặt phẳng miễn phí. Bạn không cần đăng ký, chỉ cần chọn bài và bắt đầu luyện tập. Kết quả sẽ được lưu tự động, giúp bạn theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng mỗi ngày.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • - Tuần 1-2: Nắm vững lý thuyết, luyện bài cơ bản với phép chiếu điểm.- Tuần 3: Thực hành các dạng bài đoạn thẳng, bài tập kết hợp góc và khoảng cách.- Tuần 4: Tổng hợp, làm đề thi thử, tự kiểm tra tốc độ và độ chính xác.- Đặt mục tiêu số lượng bài tập mỗi tuần, theo dõi tiến bộ qua bảng thành tích.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".