Chiến lược giải bài toán S = \frac{u_1}{1 - q} nếu |q| < 1 cho học sinh lớp 11

## 1. Giới thiệu về dạng bài toán
Dạng bài toán tổng vô hạn của cấp số nhân rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Công thức tổng quát thường được gặp là:

$S = \frac{u_1}{1 - q}$

với$|q| < 1$.

Đặc điểm của dạng bài này là xác định tổng vô hạn của một cấp số nhân, được áp dụng nhiều trong đề kiểm tra, đề thi giữa kỳ, cuối kỳ hoặc thi thử THPT Quốc gia. Thành thạo phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc kiến thức nền tảng và đạt kết quả tốt trong học tập cũng như các kỳ thi quan trọng.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập mẫu có lời giải ngay bên dưới.

## 2. Phân tích đặc điểm bài toán
### 2.1 Nhận biết dạng bài
- Đề bài thường cho dãy số dạng$u_1, u_1q, u_1q^2,\ldots$
- Câu hỏi thường yêu cầu tính tổng vô hạn hoặc kiểm tra điều kiện hội tụ.
- Từ khóa cần chú ý: "cấp số nhân vô hạn", "tính tổng vô hạn", "giới hạn tổng", "q thỏa mãn |q| < 1".
- Phân biệt với cấp số cộng hoặc các dãy có số hạng không nhân liên tiếp.

### 2.2 Kiến thức cần thiết
- Hiểu định nghĩa cấp số nhân:$u_{n+1} = u_n q$
- Ghi nhớ công thức tổng vô hạn:

- Nắm vững kỹ năng biến đổi số học, kiểm tra điều kiện hội tụ $|q| < 1$
- Liên hệ với bài toán dãy số, giới hạn, và ứng dụng trong thực tế (kinh tế, vật lý…).

## 3. Chiến lược giải quyết tổng thể
### 3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài
- Đọc kỹ đề, xác định rõ dữ liệu:$u_1$,$q$ được cho hay phải tính?
- Yêu cầu rõ ràng: tính tổng, kiểm tra điều kiện hội tụ hay tìm$u_1$,$q$.
- Gạch chân các thông tin quan trọng (giá trị $u_1$, giá trị $q$, số hạng đầu...).

### 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải
- Kiểm tra đủ điều kiện$|q|<1$chưa?
- Nếu đủ, chọn công thức đặc trưng tổng vô hạn.
- Dự đoán kết quả sơ bộ để kiểm tra đáp số sau cùng.

### 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán
- Thay số vào công thức, tính toán từng bước phải chính xác.
- Kiểm tra lại đơn vị, ý nghĩa kết quả vừa tìm được.
- Nếu ra kết quả lạ, kiểm tra lại điều kiện$|q|<1$và phép toán.

## 4. Các phương pháp giải chi tiết
### 4.1 Phương pháp cơ bản
- Kiểm tra$|q| < 1$ để đảm bảo tổng vô hạn có thể tính.
- Xác định$u_1$và $q$từ đề.
- Thay vào công thức tổng vô hạn:

$S = \frac{u_1}{1 - q}$

Ưu điểm: Đơn giản, nhanh gọn, phù hợp với mọi học sinh.
Hạn chế: Phụ thuộc vào khả năng tính toán cẩn thận.

### 4.2 Phương pháp nâng cao
- Nếu dãy số chưa cho dạng chuẩn, cần biến đổi về dạng$u_1, u_1q, u_1q^2,...$
- Có thể yêu cầu xác lập điều kiện$|q| < 1$từ biểu thức phức tạp hơn (dạng tham số).
- Dùng phép phân tích nhân tử hoặc chia tách số hạng nếu đề bài cho theo dạng khác.

Mẹo: Ghi nhớ công thức tổng vô hạn đầu bài. Khi gặp tổng$\frac{u_1}{1-q}$, kiểm tra ngay$|q|$ để quyết định tổng có tồn tại hay không.

## 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết
### 5.1 Bài tập cơ bản
Đề bài: Cho cấp số nhân vô hạn có $u_1 = 3$,$q=\frac{1}{2}$. Tính tổng$S$.

Giải:
- Xác định$u_1 = 3$,$q=\frac{1}{2}$,$|q|<1$
- Tổng vô hạn:$S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{3}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

Giải thích:
-$|q| = \frac{1}{2} < 1$nên tổng vô hạn tồn tại. Áp dụng đúng công thức là đủ.

### 5.2 Bài tập nâng cao
Đề bài: Cho cấp số nhân vô hạn có $u_1 = 5$,$q = x-2$với điều kiện tổng$S=10$. Tìm$x$.

Giải:
Áp dụng công thức tổng vô hạn:
$S = \frac{u_1}{1-q}$
Với$S=10$,$u_1=5$

$10 = \frac{5}{1-(x-2)} = \frac{5}{3-x}$

Giải phương trình:
$10(3-x) = 5 \rightarrow 30-10x=5 \rightarrow 10x = 25 \rightarrow x = 2.5$

Kiểm tra điều kiện:
$q = x-2 = 0.5$nên$|q|<1$.

Nhận xét:
- Nếu đề thay đổi$S$,$u_1$, phương pháp vẫn không đổi.
- Chỉ cần tính đúng điều kiện hội tụ là áp dụng được.

## 6. Các biến thể thường gặp
- Tổng bắt đầu từ số hạng khác$u_1$, cần biến đổi về dạng chuẩn.
-$q$là biểu thức chưa cụ thể, cần kiểm tra kỹ điều kiện hội tụ.
- Tổng hữu hạn yêu cầu tính$n$số hạng đầu tiên: lúc này không dùng công thức vô hạn, mà dùng công thức tổng cấp số nhân hữu hạn:

$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Điều chỉnh chiến lược giải cho phù hợp từng trường hợp.

## 7. Lỗi phổ biến và cách tránh
### 7.1 Lỗi về phương pháp
- Dùng sai công thức tổng hữu hạn thay vì vô hạn.
- Quên kiểm tra$|q| < 1$
- Khắc phục: ghi nhớ điều kiện này trước khi áp dụng.

### 7.2 Lỗi về tính toán
- Nhập sai số liệu.
- Nhầm dấu cộng-trừ trong phép tính phân số.
- Chia sai mẫu số hoặc tính sai$1-q$
- Kiểm tra lại bằng cách thay ngược vào đề bài, bấm máy tính hai chiều.

## 8. Luyện tập miễn phí ngay
- Truy cập 42.226+ bài tập cách giải S = \frac{u_1}{1 - q} nếu |q| < 1 miễn phí
- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức
- Hệ thống tự động lưu kết quả, theo dõi tiến độ, chỉ ra lỗi sai để cải thiện kỹ năng giải toán nhanh chóng.

## 9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả
- Mỗi tuần luyện từ 10-15 bài, chú ý luyện đồng đều cả cơ bản và nâng cao.
- Đặt mục tiêu: tuần đầu thuộc công thức và làm đúng 70%, tuần tiếp theo làm được các bài nâng cao, tuần thứ ba không mắc lỗi tính toán.
- Định kỳ tự kiểm tra lại kiến thức để đánh giá và điều chỉnh kế hoạch học tập cá nhân.