Blog

Lớp 11

Chiến lược giải bài toán S = \frac{u_1}{1 - q} nếu |q| < 1 – Hướng dẫn toàn diện cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán S = \frac{u_1}{1 - q} nếu |q| < 1

TổngS=u11−qS = \frac{u_1}{1 - q}nếu∣q∣<1|q| < 1là công thức tính nhanh tổng vô hạn của một cấp số nhân (CSN) trong toán lớp 11. Dạng bài này thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và luyện thi THPT Quốc gia. Đây là kiến thức trọng tâm trong Bài 7 – Cấp số nhân (SGK Toán 11). Việc thành thạo cách giải bài toán này giúp học sinh tăng tốc độ làm bài và dễ dàng đạt điểm cao. Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập đa dạng về chủ đề này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài
  • Câu hỏi thường yêu cầu tính tổng vô hạn của một cấp số nhân, tổng các số hạng sau, hoặc tìm tổng của dãy khi biết u₁ và q.
  • Từ khóa: “cấp số nhân”, “tổng vô hạn”, “tỉ số q”, “|q| < 1”, “S = ?”
  • Khác với các tổng hữu hạn hoặc bài toán cấp số cộng.
    • 2.2 Kiến thức cần thiết
  • Công thức tổng CSN vô hạn:S=u11−qS = \frac{u_1}{1-q}(∣q∣<1|q| < 1)
  • Hiểu tính chất của cấp số nhân: số hạng đầuu1u_1, công bộiqq, điều kiện hội tụ ∣q∣<1|q| < 1
  • Kỹ năng biến đổi, xác địnhu1u_1,qqtừ dãy số
  • Liên hệ với chủ đề khác: bài toán dãy số, tổng cấp số cộng, tổng hữu hạn

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài
  • Gạch chân các dữ kiện:u1u_1,qq, yêu cầu tính tổngSS.
  • Nhận diện đúng dạng bài tổng vô hạn cấp số nhân.
    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải
  • Chọn công thức và phương pháp phù hợp (công thức tổng vô hạn CSN)
  • Sắp xếp quy trình: xác địnhu1u_1, tínhqq, kiểm tra∣q∣<1|q| < 1, áp dụng công thức
  • Dự đoán kết quả để kiểm tra hợp lý cuối cùng
    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán
  • Tính chính xác từng bước
  • Kiểm tra điều kiện∣q∣<1|q| < 1trước khi kết luận
  • Kiểm tra kết quả sau khi làm xong để tránh sai sót

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản
  • Ghi nhớ công thức tổng CSN vô hạnS=u11−qS = \frac{u_1}{1-q}và chỉ áp dụng khi∣q∣<1|q| < 1.
  • Tốt cho các bài toán tìm tổng trực tiếp hoặc bài tập thực hành, kiểm tra nhanh khả năng nhận biết
  • Hạn chế: Không áp dụng được nếu∣q∣≥1|q| \geq 1hoặc đề bài yêu cầu biến đổi phức tạp
    • 4.2 Phương pháp nâng cao
  • Sử dụng kỹ thuật rút gọn, biến đổi dãy số để xác địnhu1u_1và qqnhanh hơn.
  • Áp dụng mẹo chọn nhanh công bộiqq(lấy số hạng sau chia cho số hạng trước).
  • Nếu u₁, q là ẩn hoặc số phức tạp, có thể biến đổi lại dãy hoặc kiểm tra bằng thử số hạng đầu và công bội.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản
  • Đề bài: Tính tổng vô hạn của cấp số nhân(2;1;0.5;...)(2; 1; 0.5;...)
  • Giải:
  • - Số hạng đầuu1=2u_1 = 2
  • - Công bộiq=12q = \frac{1}{2}(vì q=12q = \frac{1}{2}và ∣q∣<1|q| < 1)
  • - Áp dụng công thức:S=21−12=212=4S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4
  • - TổngS=4S = 4
    • 5.2 Bài tập nâng cao
  • Đề bài: Tìm tổng vô hạn của dãy(3,−1.5,0.75,...)\left(3, -1.5, 0.75,...\right)
  • -u1=3u_1 = 3,q=−1.53=−0.5q = \frac{-1.5}{3} = -0.5(∣q∣=0.5<1|q| = 0.5 < 1)
  • Áp dụng:S=31−(−0.5)=31+0.5=31.5=2S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1 + 0.5} = \frac{3}{1.5} = 2
  • Có thể giải bằng biến đổi đại số, so sánh các cách: Nếu xác định sai q hoặc quên đổi dấu sẽ sai kết quả.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • Dãy số không cho thẳngu1u_1và qq, cần xác định qua công thức chungun=u1qn−1u_n = u_1 q^{n-1}.
  • Tổng CSN vớiqqlà số âm, phân số hoặc ẩn biểu thức.
  • Bài toán tổng hữu hạn (chỉ lấy một số hạng đầu) – phải chuyển sang tổng vô hạn nếu đề cho "..." hoặc "các số hạng đến vô tận".
  • Cách nhận biết: luôn kiểm tra dấu hiệu “tổng vô hạn” và điều kiện∣q∣<1|q| < 1

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp
  • Chọn sai công thức (nhầm với cấp số cộng hoặc tổng hữu hạn CSN)
  • Lấy nhầmu1u_1, xác định saiqq
  • Cần check kỹ điều kiện∣q∣<1|q| < 1trước khi kết luận
    • 7.2 Lỗi về tính toán
  • Phép chia, đổi dấu trong công thức sai
  • Quên kiểm tra kết quả hoặc làm tròn không chính xác
  • Phương pháp kiểm tra: Thay lại một vài số hạng vào dãy và kiểm tra tổng gần đúng với kết quả đã tìm được

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

  • Truy cập 42.226+ bài tập cách giải S = u₁ / (1 - q) nếu |q| < 1 miễn phí ngay tại hệ thống.
  • Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập tức thì.
  • Theo dõi tiến độ, đánh giá kỹ năng giải toán của bạn qua mỗi lần làm bài.

    • 9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Chia nhỏ luyện tập: mỗi tuần làm 10-20 bài tập, tăng dần độ khó.
  • Mục tiêu: Thành thạo nhận diện và giải đúng 95% các bài toán S = \frac{u_1}{1 - q} trước khi chuyển sang ôn tập tổng hợp.
  • Kết hợp luyện tập với đánh giá, ôn lại các lỗi sai đã gặp để tránh sai lặp lại.

    • Hãy bắt đầu luyện tập cách giải bài toán S = u₁ / (1 - q) nếu |q| < 1 miễn phí để sẵn sàng cho các bài kiểm tra, đề thi và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".