Chiến lược giải bài toán S = \frac{u_1}{1 - q} nếu |q| < 1 cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán tổng quát $S = \frac{u_1}{1 - q}$nếu$|q| < 1$là một trong các bài toán về cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt ở chuyên đề "Bài 7: Cấp số nhân". Đây là công thức dùng để tính tổng vô hạn của một cấp số nhân khi công bội$q$thỏa mãn$|q| < 1$. Dạng bài này xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi học kì, và là nền tảng cho nhiều bài toán khó hơn. Hiểu rõ phương pháp này sẽ giúp bạn chiếm ưu thế khi làm đề. Ngoài ra, bạn hoàn toàn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập trên hệ thống.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

### 2.1 Nhận biết dạng bài

• - Đề bài nhắc đến cấp số nhân (CSN), tổng các số hạng vô hạn, công bội$q$,$|q| < 1$.
• - Xuất hiện từ khóa: "tổng vô hạn", "Cấp số nhân hội tụ", "Công thức tổng S", "tìm S với$|q| < 1$."
• - Phân biệt với CSN hữu hạn (khi hỏi tổng$n$số hạng đầu, dùng công thức khác).

### 2.2 Kiến thức cần thiết

• - Hiểu các khái niệm: cấp số nhân, số hạng đầu$u_1$, công bội$q$, điều kiện hội tụ $|q| < 1$.
• - Nắm công thức tổng vô hạn:$S = \frac{u_1}{1 - q}$.
• - Biết liên kết với các chủ đề: giới hạn dãy số, bài toán tài chính, vật lý.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

#### 3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• - Đọc kỹ đề, xác định rõ đề hỏi tổng vô hạn ($n \rightarrow \infty$) hay hữu hạn ($n$biết trước).
• - Tìm thông tin:$u_1$(số hạng đầu),$q$(công bội), xác định điều kiện$|q| < 1$.
• - Kiểm tra yêu cầu: tính tổng$S$, tìm$u_1$hoặc$q$khi biết$S$, giải thích quá trình tính toán.

#### 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• - Chọn công thức tổng vô hạn$S = \frac{u_1}{1 - q}$(chỉ khi$|q| < 1$).
• - Đặt rõ các bước: tính$q$, tính$u_1$, kiểm tra điều kiện$|q| < 1$rồi thế vào công thức.
• - Ước lượng kết quả để kiểm chứng (nhất là khi$|q|$gần 1, tổng sẽ lớn dần).

#### 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• - Áp dụng chuẩn xác công thức$S = \frac{u_1}{1 - q}$.
• - Tính toán cẩn thận (ưu tiên phân số, kiểm tra điều kiện liên quan$q$).
• - Kiểm tra kết quả bằng phương pháp thay ngược, thử lại với số liệu nhỏ.

4. Các phương pháp giải chi tiết

### 4.1 Phương pháp cơ bản

• - Xác định$u_1$và $q$từ đề bài.
• - Kiểm tra điều kiện$|q| < 1$.
• - Thay vào công thức$S = \frac{u_1}{1 - q}$ để tính tổng.

Ưu điểm: Đơn giản vừa đủ, phù hợp với mọi bài cơ bản.
Hạn chế: Đôi khi cần biến đổi để tìm ra$u_1$hay$q$từ một dãy biểu thức phức tạp.

### 4.2 Phương pháp nâng cao

• - Sử dụng biến đổi đại số linh hoạt để tìm$u_1$và $q$khi dãy số được cho một cách ẩn (dạng hàm tổng quát).
• - Tối ưu hóa quá trình giải bằng việc rút gọn trước khi thay số.
• - Mẹo: Nếu$q$là số âm nhỏ, tính tổng chú ý dấu.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

#### 5.1 Bài tập cơ bản

- Đề: Cho dãy số $\{u_n\}$là cấp số nhân với$u_1 = 2$,$q = \frac{1}{4}$. Tính tổng$S = u_1 + u_2 + u_3 +...$.

- Bước 1: Xác định số hạng đầu$u_1 = 2$, công bội$q = \frac{1}{4}$($|q| < 1$thoả điều kiện).

- Bước 2: Áp dụng công thức$S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{3}$.

- Giải thích: Tính bình thường theo công thức, đảm bảo$|q| < 1$ ở bước đầu.

#### 5.2 Bài tập nâng cao

- Đề: Một dãy số $\{v_n\}$với$v_1 = 5$,$v_2 = 2$, xác định$S = v_1 + v_2 + v_3 +...$khi$n \rightarrow \infty$.

- Nhận biết: Đây là cấp số nhân vì $\frac{v_2}{v_1} = \frac{2}{5} = 0.4$nên$q = 0.4$($|q| < 1$).

- Áp dụng công thức:$S = \frac{v_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - 0.4} = \frac{5}{0.6} = \frac{25}{3}$.

- So sánh cách giải: Nếu bạn xác định$q$nhầm, tổng sẽ không đúng. Cần xác định đúng$u_1$,$q$trước.

6. Các biến thể thường gặp

• - Biến thể cho tổng hữu hạn (chỉ $n$số hạng đầu): sử dụng công thức$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$.
• - Cho$S$, tìm ngược$u_1$hoặc$q$.
• - Dạng phối hợp với bài toán thực tế (bài toán tăng trưởng, vật lý, kinh tế).

- Mẹo: Nếu đề có dấu hiệu 'tổng vô hạn', 'hội tụ', hãy nghĩ ngay đến$S = \frac{u_1}{1 - q}$.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

### 7.1 Lỗi về phương pháp

• - Nhận dạng nhầm dãy số (CSN thành cấp số cộng).
• - Dùng công thức tổng vô hạn khi$|q| \geq 1$(kết quả sẽ không xác định).

### 7.2 Lỗi về tính toán

• - Nhập nhầm phân số $\frac{u_1}{1 - q}$, đặc biệt với$q$ âm.
• - Làm tròn số quá sớm hoặc sai dấu khi$q$ âm.
• - Kiểm tra lại bằng cách thử một vài số hạng thực tế.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Tham khảo ngay 42.226+ bài tập liên quan đến cách giải S = u₁ / (1 - q) nếu |q| < 1 miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể luyện tập ngay lập tức, xem đáp án chi tiết và theo dõi tiến độ học tập. Đặt mục tiêu, luyện tập mỗi ngày để nâng cao kỹ năng giải dạng toán này!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• - Tuần 1: Ôn lại lý thuyết, nhận dạng bài và giải dạng cơ bản.
• - Tuần 2: Làm bài tập nâng cao, bài tổng hợp và các biến thể.
• - Tuần 3: Tự kiểm tra lại, giải đề tổng hợp, soát lại lỗi thường gặp.

Sau mỗi tuần, đối chiếu lại số lượng đúng/sai và rút kinh nghiệm để cải thiện kỹ năng giải bài toán S = u₁ / (1 - q) nếu |q| < 1.