Cách giải bài toán Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi – Bài tập và chiến lược luyện tập miễn phí lớp 11

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán "Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi" thường gặp nhiều trong chương trình Toán lớp 11, nhất là ở phần lượng giác. Đặc điểm nổi bật của dạng này là yêu cầu biến đổi các biểu thức lượng giác dùng những công thức sau:

Công thức cộng: $\sin(a \pm b)$ , $\cos(a \pm b)$ , $\tan(a \pm b)$
Công thức nhân đôi: $\sin 2a$ , $\cos 2a$ , $\tan 2a$

Dạng bài này xuất hiện với tần suất cao trong các bài kiểm tra, đề thi giữa kỳ và cuối kỳ, thậm chí cả trong đề thi THPT quốc gia. Nó đóng vai trò nền tảng cho rất nhiều dạng toán lượng giác nâng cao khác, giúp học sinh củng cố kỹ năng biến đổi biểu thức, giải phương trình và bất phương trình lượng giác. Học sinh có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập ngay trên nền tảng của chúng tôi!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dấu hiệu đặc trưng: Có biểu thức dạng $\sin(a \pm b)$ , $\cos(a \pm b)$ , $\sin 2a$ , $\cos 2a$ ,...
Từ khóa: “Chứng minh đẳng thức”, “Tính giá trị”, “Rút gọn biểu thức”, “Giải phương trình sử dụng lượng giác”.
Khác biệt: Dạng này không sử dụng công thức hạ bậc hay biến tổng thành tích mà dùng các công thức cộng - trừ - nhân đôi.

2.2 Kiến thức cần thiết

Công thức lượng giác cơ bản:
$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>±</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>a</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>b</mi><mo>∓</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>a</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b</annotation></semantics></math>cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo><</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>></mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> </annotation></semantics></math><br> \sin 2a = 2\sin a \cos a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a</annotation></semantics></math>cos2a=2cos2a−1=1−2sin2a \tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$
Kỹ năng tính toán cẩn thận, đặc biệt khi biến đổi dấu.
Sự liên hệ giữa các công thức, chuyển đổi giữa sin, cos, tan bằng cách sử dụng các hệ thức phụ.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

Đọc kỹ từng câu, xác định dạng biểu thức lượng giác có mặt.
Đánh dấu dữ liệu cho và yêu cầu cần tìm.
Tìm các chỉ dẫn về loại công thức cần sử dụng.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

Lựa chọn công thức phù hợp với từng biểu thức.
Tính toán các bước trung gian, sắp xếp trình tự hợp lý.
Dự đoán kết quả sơ bộ để đối chiếu khi hoàn thành.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

Thay thế từng biểu thức bằng công thức phù hợp.
Tính toán từng bước, đảm bảo đúng dấu và hệ số.
Đối chiếu lại kết quả sơ bộ và kiểm tra logic toàn bài.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Áp dụng trực tiếp công thức cộng, trừ, nhân đôi với từng thành phần của biểu thức.
Ưu điểm: Phù hợp cho bài cơ bản, diễn giải rõ ràng từng bước, ít mắc lỗi.
Hạn chế: Đôi khi làm bài dài dòng, mất thời gian với biểu thức phức tạp.
Sử dụng khi đề yêu cầu biến đổi cơ bản, hoặc khi mới làm quen.

4.2 Phương pháp nâng cao

Sử dụng các mẹo rút gọn: Nhận ra các cặp biểu thức đối xứng, dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Tận dụng tính chất tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm lượng giác để rút gọn.
Ghi nhớ một số công thức biến đổi nhanh như
$\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$

Áp dụng khi bài yêu cầu rút gọn nhanh, phương trình phức tạp hoặc cần kỹ thuật đối xứng.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Rút gọn biểu thức $A = \sin 2x + \sin x$ .

Lời giải:

Ta có $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ .

Nên $A = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$ .

Giải thích: Áp dụng công thức nhân đôi cho $\sin 2x$ , sau đó đặt nhân tử chung $\sin x$ .

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Chứng minh $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ .

Cách 1:

Ta có $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ vì $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .

Lại có $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ .

Vậy $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ .

Cách 2:

Có thể dùng công thức nhân đôi:

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ hay $1 - 2\sin^2 x$ để biến đổi về cùng biểu thức.

So sánh: Cách 1 dùng khai triển hiệu hai bình phương, diễn giải ngắn gọn; cách 2 phù hợp khi đề phức tạp hơn.

6. Các biến thể thường gặp

Dạng biểu thức có thêm dấu trừ/tổng: $\sin (a \pm b) \pm \sin (a \mp b)$ .
Kết hợp với phương trình lượng giác: Giải phương trình dạng $\sin 2x = \cos x$ ,...
Lồng ghép nhân đôi, cộng trừ cùng lúc.
Điều chỉnh chiến lược: Xác định rõ từng công thức cần dùng, ưu tiên rút gọn từ trong ra ngoài.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

Chọn không đúng công thức dẫn đến biến đổi sai.
Dùng nhầm dấu cộng/trừ trong công thức.
Cách khắc phục: Chú ý học thuộc đúng công thức, gạch chân dấu cộng/trừ để nhắc nhở bản thân.

7.2 Lỗi về tính toán

Lầm dấu khi biến đổi (ví dụ $\sin(a-b)$ sai thành $\sin(a+b)$ ).
Lỗi cộng-trừ sai hoặc viết thiếu hệ số.
Cách kiểm tra: Sau khi tính, thử thay số vào (như $x=0$ ) để kiểm chứng kết quả.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập 42.226+ bài tập cách giải Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức! Bạn có thể theo dõi tiến độ cá nhân, đánh giá sự tiến bộ và cải thiện kỹ năng giải toán lượng giác mỗi ngày.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Lịch trình tuần:
- Tuần 1: Ôn công thức cộng, trừ, nhân đôi, làm 10 bài tập cơ bản mỗi ngày.
- Tuần 2: Luyện tập nâng cao, giải tối thiểu 5 bài phức tạp kết hợp nhiều công thức/ngày.
- Tuần 3: Kiểm tra bản thân bằng đề luyện tổng hợp.
- Mục tiêu: Thành thạo 100% công thức, không sai kỹ thuật biến đổi.
- Đánh giá tiến bộ: Làm lại các bài đã sai, thực hành đối chiếu đáp án, nhận xét cải thiện qua từng tuần.

Blog

Chiến lược giải bài toán Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi (Toán lớp 11)

1. Giới thiệu về dạng bài toán

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

2.2 Kiến thức cần thiết

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

4.2 Phương pháp nâng cao

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

5.2 Bài tập nâng cao

6. Các biến thể thường gặp

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

7.2 Lỗi về tính toán

8. Luyện tập miễn phí ngay

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Bài tập cuối chương I Toán 11: Giải thích chi tiết khái niệm và hướng dẫn luyện tập miễn phí

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về dạng bài toán

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

2.2 Kiến thức cần thiết

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

4.2 Phương pháp nâng cao

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

5.2 Bài tập nâng cao

6. Các biến thể thường gặp

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

7.2 Lỗi về tính toán

8. Luyện tập miễn phí ngay

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Bài viết liên quan

Tính toán và biến đổi biểu thức chứa lũy thừa – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

Bài tập cuối chương I Toán 11: Giải thích chi tiết khái niệm và hướng dẫn luyện tập miễn phí

Giải thích chi tiết khái niệm cos – Kiến thức trọng tâm cho học sinh lớp 11

Giải thích chi tiết khái niệm "Bài tập cuối chương VII" Toán lớp 11 và bí quyết luyện tập miễn phí hiệu quả

Bài tập cuối chương I Toán 11: Giải thích chi tiết khái niệm và hướng dẫn luyện tập miễn phí

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi