1. Giới thiệu về bài toán ‘Tính giới hạn tại một điểm’ và tầm quan trọng

Bài toán ‘Tính giới hạn tại một điểm’ là một trong những chủ đề nền tảng và quan trọng nhất của giải tích lớp 11. Giới hạn là công cụ cốt lõi để hiểu sự tiến gần của hàm số tại một giá trị nào đó. Việc nắm vững kỹ năng giải quyết dạng toán này giúp học sinh không chỉ làm tốt kiểm tra, thi cử mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các chương tiếp theo: đạo hàm, vi phân và liên tục.

2. Đặc điểm của bài toán tính giới hạn tại một điểm

Bài toán này thường yêu cầu bạn xác định:

• Giới hạn tại một điểm hữu hạn:$\lim_{x \to a} f(x)$
• Giới hạn tại vô cực:$\lim_{x \to \infty} f(x)$hoặc$\lim_{x \to -\infty} f(x)$
• Giới hạn một bên (trái hoặc phải):$\lim_{x \to a^-} f(x)$,$\lim_{x \to a^+} f(x)$

Dạng bài phổ biến nhất ở lớp 11 là giới hạn tại một điểm hữu hạn với các biểu thức đại số, phân thức, căn thức, lượng giác cơ bản.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

• Bước 1: Xác định rõ điểm cần tính giới hạn và dạng hàm số.
• Bước 2: Thay trực tiếp giá trị vào biểu thức gốc (nếu không gây chia cho 0).
• Bước 3: Nếu là dạng vô định ($\frac{0}{0}$,$\frac{\infty}{\infty}$...), sử dụng biến đổi đại số, phân tích, khử mẫu, khử căn, phối hợp phép toán hợp lý.
• Bước 4: Rút gọn rồi thay lại để tính giới hạn.
• Bước 5: Nếu cần, sử dụng các định lý, nhận xét về giới hạn (đặc biệt, giới hạn cơ bản lượng giác, đa thức, căn thức...).

4. Các bước giải cụ thể & Ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ đi qua từng bước với các ví dụ cụ thể giúp học sinh hiểu và vận dụng dễ dàng.

Bước 1: Thay trực tiếp giá trị cần tính giới hạn

Ví dụ 1: Tính$\lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 5x + 6)$

+ Thay$x=2$vào biểu thức, ta có:

Vậy$\lim\limits_{x \to 2}(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Bước 2: Nhận dạng dạng vô định và biến đổi đại số

Ví dụ 2: Tính$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$

Thay$x=2$=> tử số $2^2 - 5*2 + 6 = 0$, mẫu$2-2=0$==> dạng vô định$\frac{0}{0}$.
Giải quyết:

• Phân tích tử số:
• $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
• Vậy biểu thức thành:$\lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2}$

Rút gọn$(x-2)$, ta còn:

Vậy$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = -1$.

Bước 3: Biến đổi căn thức (với dạng vô định chứa căn)

Ví dụ 3: Tính $\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x-4}$

+ Thay $x=4$, tử $\sqrt{4} - 2 = 0$, mẫu $4-4=0$-> dạng$\frac{0}{0}$.

• Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp: $\sqrt{x} + 2$
• Ta được: $\frac{\sqrt{x} - 2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Vậy $\lim\limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x-4} = \frac{1}{4}$.

Bước 4: Sử dụng giới hạn lượng giác cơ bản

Ví dụ 4: Tính $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

• Đây là giới hạn cơ bản đã biết:
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Các dạng khác cũng có thể sử dụng như:$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \ (nếu \f(x) \liên \tục \tại \a)$
• $\lim\limits_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \pm \lim\limits_{x \to a} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$, với$\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$
• Cộng, chia, nhân, trừ giới hạn phép đại số
• Các giới hạn cơ bản lượng giác:
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán có căn thức phức tạp: Dùng liên hợp, khai triển, hoặc biến đổi thích hợp.
• Bài toán nhiều tầng: Biến đổi từng tầng, vận dụng kết hợp các kỹ thuật.
• Bài toán có lượng giác: Luôn thử rút về giới hạn cơ bản lượng giác.
• Bài toán không xác định (hữu hạn/vô cực): Xem xét kỹ về bản chất hàm số tại điểm đó và chia loại trường hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Tính$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x-1}$

• Thay$x=1$, ta có tử $1^2-1=0$, mẫu$1-1=0$→ dạng$\frac{0}{0}$.
• Phân tích tử:$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
• Rút gọn:$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$
• Kết quả:$\lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2$

Đáp án:$\boxed{2}$

8. Bài tập thực hành

Hãy tự giải các bài tập sau:

• 1.$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$
• 2. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
• 3. $\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2}$
• 4.$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn thử thay trực tiếp giá trị trước, nhận diện rõ các dạng vô định.
• Nếu là dạng$\frac{0}{0}$: nghĩ ngay tới phân tích nhân tử, rút gọn, dùng liên hợp hoặc các giới hạn cơ bản.
• Viết lại các biểu thức căn hoặc lượng giác hết sức cẩn thận, tránh sai sót phép biến đổi.
• Không sử dụng lộn xộn các phép biến đổi với điểm gây chia cho 0.
• Ghi nhớ các giới hạn cơ bản và công thức thường dùng.

Chúc các bạn học tốt và thành công khi luyện tập kỹ năng giải các bài toán về giới hạn tại một điểm!